Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12438 / 14582
↖ ↑ ↗
← N 19.414792°
W 43.352051°		 ← 1 152.11 m → N 19.414792°
W 43.341065°		 →
↑
1 152.20 m
↓
↑
1 152.20 m
↓
N 19.404430°
W 43.352051°		 ← 1 152.19 m →
1 327 501 m²		 N 19.404430°
W 43.341065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379592895507812 y=0.445022583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379592895507812 × 215)
    floor (0.379592895507812 × 32768)
    floor (12438.5)     		tx = 12438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445022583007812 × 215)
    floor (0.445022583007812 × 32768)
    floor (14582.5)     		ty = 14582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12438 / 14582 ti = "15/12438/14582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12438/14582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12438 ÷ 215
    12438 ÷ 32768     		x = 0.37957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14582 ÷ 215
    14582 ÷ 32768     		y = 0.44500732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37957763671875 × 2 - 1) × π
    -0.2408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75663602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44500732421875 × 2 - 1) × π
    0.1099853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.345529172461365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75663602} λ = -0.75663602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345529172461365))-π/2
    2×atan(1.41273730357892)-π/2
    2×0.954824189210859-π/2
    1.90964837842172-1.57079632675     		φ = 0.33885205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75663602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.352051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33885205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.414792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12438 KachelY 14582 -0.75663602 0.33885205 -43.352051 19.414792
    Oben rechts KachelX + 1 12439 KachelY 14582 -0.75644428 0.33885205 -43.341065 19.414792
    Unten links KachelX 12438 KachelY + 1 14583 -0.75663602 0.33867120 -43.352051 19.404430
    Unten rechts KachelX + 1 12439 KachelY + 1 14583 -0.75644428 0.33867120 -43.341065 19.404430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33885205-0.33867120) × R
    0.00018085000000001 × 6371000     		dl = 1152.19535000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33885205-0.33867120) × R
    0.00018085000000001 × 6371000     		dr = 1152.19535000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75663602--0.75644428) × cos(0.33885205) × R
    0.000191739999999996 × 0.943136870775797 × 6371000     		do = 1152.11293221183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75663602--0.75644428) × cos(0.33867120) × R
    0.000191739999999996 × 0.94319697073069 × 6371000     		du = 1152.18634884668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33885205)-sin(0.33867120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943136870775797-0.94319697073069)×R²
    abs(-0.75644428--0.75663602)×6.00999548930892e-05×R²
    0.000191739999999996×6.00999548930892e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.00999548930892e-05×40589641000000     		ar = 1327501.46193997m²