Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12437 / 14579
↖ ↑ ↗
← N 19.445874°
W 43.363037°		 ← 1 151.95 m → N 19.445874°
W 43.352051°		 →
↑
1 151.94 m
↓
↑
1 151.94 m
↓
N 19.435515°
W 43.363037°		 ← 1 152.03 m →
1 327 023 m²		 N 19.435515°
W 43.352051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379562377929688 y=0.444931030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379562377929688 × 215)
    floor (0.379562377929688 × 32768)
    floor (12437.5)     		tx = 12437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444931030273438 × 215)
    floor (0.444931030273438 × 32768)
    floor (14579.5)     		ty = 14579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12437 / 14579 ti = "15/12437/14579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12437/14579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12437 ÷ 215
    12437 ÷ 32768     		x = 0.379547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14579 ÷ 215
    14579 ÷ 32768     		y = 0.444915771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379547119140625 × 2 - 1) × π
    -0.24090576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75682777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444915771484375 × 2 - 1) × π
    0.11016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.346104415256805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75682777} λ = -0.75682777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346104415256805))-π/2
    2×atan(1.41355020431989)-π/2
    2×0.955095429609189-π/2
    1.91019085921838-1.57079632675     		φ = 0.33939453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75682777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.363037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33939453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.445874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12437 KachelY 14579 -0.75682777 0.33939453 -43.363037 19.445874
    Oben rechts KachelX + 1 12438 KachelY 14579 -0.75663602 0.33939453 -43.352051 19.445874
    Unten links KachelX 12437 KachelY + 1 14580 -0.75682777 0.33921372 -43.363037 19.435515
    Unten rechts KachelX + 1 12438 KachelY + 1 14580 -0.75663602 0.33921372 -43.352051 19.435515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33939453-0.33921372) × R
    0.000180810000000031 × 6371000     		dl = 1151.9405100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33939453-0.33921372) × R
    0.000180810000000031 × 6371000     		dr = 1151.9405100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75682777--0.75663602) × cos(0.33939453) × R
    0.000191750000000046 × 0.942956409141628 × 6371000     		do = 1151.95256044675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75682777--0.75663602) × cos(0.33921372) × R
    0.000191750000000046 × 0.943016588309602 × 6371000     		du = 1152.02607768038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33939453)-sin(0.33921372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942956409141628-0.943016588309602)×R²
    abs(-0.75663602--0.75682777)×6.01791679737396e-05×R²
    0.000191750000000046×6.01791679737396e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.01791679737396e-05×40589641000000     		ar = 1327023.1673319m²