Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12434 / 20804
↖ ↑ ↗
← S 43.612217°
W 43.395996°		 ← 884.45 m → S 43.612217°
W 43.385010°		 →
↑
884.42 m
↓
↑
884.42 m
↓
S 43.620171°
W 43.395996°		 ← 884.33 m →
782 176 m²		 S 43.620171°
W 43.385010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379470825195312 y=0.634902954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379470825195312 × 215)
    floor (0.379470825195312 × 32768)
    floor (12434.5)     		tx = 12434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634902954101562 × 215)
    floor (0.634902954101562 × 32768)
    floor (20804.5)     		ty = 20804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12434 / 20804 ti = "15/12434/20804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12434/20804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12434 ÷ 215
    12434 ÷ 32768     		x = 0.37945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20804 ÷ 215
    20804 ÷ 32768     		y = 0.6348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.2410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75740301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.269775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.847524385282593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75740301} λ = -0.75740301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847524385282593))-π/2
    2×atan(0.42847435746833)-π/2
    2×0.404809775057144-π/2
    0.809619550114289-1.57079632675     		φ = -0.76117678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75740301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76117678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.612217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12434 KachelY 20804 -0.75740301 -0.76117678 -43.395996 -43.612217
    Oben rechts KachelX + 1 12435 KachelY 20804 -0.75721127 -0.76117678 -43.385010 -43.612217
    Unten links KachelX 12434 KachelY + 1 20805 -0.75740301 -0.76131560 -43.395996 -43.620171
    Unten rechts KachelX + 1 12435 KachelY + 1 20805 -0.75721127 -0.76131560 -43.385010 -43.620171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76117678--0.76131560) × R
    0.000138819999999984 × 6371000     		dl = 884.422219999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76117678--0.76131560) × R
    0.000138819999999984 × 6371000     		dr = 884.422219999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75740301--0.75721127) × cos(-0.76117678) × R
    0.000191739999999996 × 0.724024800069398 × 6371000     		do = 884.450986118147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75740301--0.75721127) × cos(-0.76131560) × R
    0.000191739999999996 × 0.723929038674958 × 6371000     		du = 884.334006341023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76117678)-sin(-0.76131560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724024800069398-0.723929038674958)×R²
    abs(-0.75721127--0.75740301)×9.57613944398972e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57613944398972e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57613944398972e-05×40589641000000     		ar = 782176.376123335m²