Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12433 / 21075
↖ ↑ ↗
← S 45.729191°
W 43.406982°		 ← 852.77 m → S 45.729191°
W 43.395996°		 →
↑
852.69 m
↓
↑
852.69 m
↓
S 45.736860°
W 43.406982°		 ← 852.65 m →
727 099 m²		 S 45.736860°
W 43.395996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379440307617188 y=0.643173217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379440307617188 × 215)
    floor (0.379440307617188 × 32768)
    floor (12433.5)     		tx = 12433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643173217773438 × 215)
    floor (0.643173217773438 × 32768)
    floor (21075.5)     		ty = 21075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12433 / 21075 ti = "15/12433/21075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12433/21075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12433 ÷ 215
    12433 ÷ 32768     		x = 0.379425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21075 ÷ 215
    21075 ÷ 32768     		y = 0.643157958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.24114990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75759476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.28631591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.899487984470734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75759476} λ = -0.75759476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899487984470734))-π/2
    2×atan(0.406777883022343)-π/2
    2×0.3863356892598-π/2
    0.772671378519599-1.57079632675     		φ = -0.79812495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75759476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.406982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79812495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.729191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12433 KachelY 21075 -0.75759476 -0.79812495 -43.406982 -45.729191
    Oben rechts KachelX + 1 12434 KachelY 21075 -0.75740301 -0.79812495 -43.395996 -45.729191
    Unten links KachelX 12433 KachelY + 1 21076 -0.75759476 -0.79825879 -43.406982 -45.736860
    Unten rechts KachelX + 1 12434 KachelY + 1 21076 -0.75740301 -0.79825879 -43.395996 -45.736860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79812495--0.79825879) × R
    0.000133839999999941 × 6371000     		dl = 852.694639999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79812495--0.79825879) × R
    0.000133839999999941 × 6371000     		dr = 852.694639999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75759476--0.75740301) × cos(-0.79812495) × R
    0.000191750000000046 × 0.698050562352512 × 6371000     		do = 852.765965454606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75759476--0.75740301) × cos(-0.79825879) × R
    0.000191750000000046 × 0.697954720173338 × 6371000     		du = 852.648880886721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79812495)-sin(-0.79825879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698050562352512-0.697954720173338)×R²
    abs(-0.75740301--0.75759476)×9.58421791736885e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58421791736885e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58421791736885e-05×40589641000000     		ar = 727099.050310863m²