Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12432 / 21076
↖ ↑ ↗
← S 45.736860°
W 43.417969°		 ← 852.65 m → S 45.736860°
W 43.406982°		 →
↑
852.57 m
↓
↑
852.57 m
↓
S 45.744527°
W 43.417969°		 ← 852.53 m →
726 891 m²		 S 45.744527°
W 43.406982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379409790039062 y=0.643203735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379409790039062 × 215)
    floor (0.379409790039062 × 32768)
    floor (12432.5)     		tx = 12432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643203735351562 × 215)
    floor (0.643203735351562 × 32768)
    floor (21076.5)     		ty = 21076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12432 / 21076 ti = "15/12432/21076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12432/21076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12432 ÷ 215
    12432 ÷ 32768     		x = 0.37939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21076 ÷ 215
    21076 ÷ 32768     		y = 0.6431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75778651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.286376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.899679732069214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75778651} λ = -0.75778651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899679732069214))-π/2
    2×atan(0.40669989181771)-π/2
    2×0.3862687690946-π/2
    0.772537538189201-1.57079632675     		φ = -0.79825879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75778651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79825879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.736860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12432 KachelY 21076 -0.75778651 -0.79825879 -43.417969 -45.736860
    Oben rechts KachelX + 1 12433 KachelY 21076 -0.75759476 -0.79825879 -43.406982 -45.736860
    Unten links KachelX 12432 KachelY + 1 21077 -0.75778651 -0.79839261 -43.417969 -45.744527
    Unten rechts KachelX + 1 12433 KachelY + 1 21077 -0.75759476 -0.79839261 -43.406982 -45.744527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79825879--0.79839261) × R
    0.000133819999999951 × 6371000     		dl = 852.567219999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79825879--0.79839261) × R
    0.000133819999999951 × 6371000     		dr = 852.567219999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75778651--0.75759476) × cos(-0.79825879) × R
    0.000191749999999935 × 0.697954720173338 × 6371000     		do = 852.648880886228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75778651--0.75759476) × cos(-0.79839261) × R
    0.000191749999999935 × 0.697858879816306 × 6371000     		du = 852.531798544343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79825879)-sin(-0.79839261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697954720173338-0.697858879816306)×R²
    abs(-0.75759476--0.75778651)×9.58403570323618e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58403570323618e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58403570323618e-05×40589641000000     		ar = 726890.576814743m²