Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12431 / 21078
↖ ↑ ↗
← S 45.752193°
W 43.428955°		 ← 852.41 m → S 45.752193°
W 43.417969°		 →
↑
852.38 m
↓
↑
852.38 m
↓
S 45.759859°
W 43.428955°		 ← 852.30 m →
726 528 m²		 S 45.759859°
W 43.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379379272460938 y=0.643264770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379379272460938 × 215)
    floor (0.379379272460938 × 32768)
    floor (12431.5)     		tx = 12431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643264770507812 × 215)
    floor (0.643264770507812 × 32768)
    floor (21078.5)     		ty = 21078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12431 / 21078 ti = "15/12431/21078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12431/21078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12431 ÷ 215
    12431 ÷ 32768     		x = 0.379364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21078 ÷ 215
    21078 ÷ 32768     		y = 0.64324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.24127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75797826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64324951171875 × 2 - 1) × π
    -0.2864990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.900063227266174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75797826} λ = -0.75797826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900063227266174))-π/2
    2×atan(0.406543954265156)-π/2
    2×0.386134956330373-π/2
    0.772269912660746-1.57079632675     		φ = -0.79852641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75797826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.428955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79852641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.752193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12431 KachelY 21078 -0.75797826 -0.79852641 -43.428955 -45.752193
    Oben rechts KachelX + 1 12432 KachelY 21078 -0.75778651 -0.79852641 -43.417969 -45.752193
    Unten links KachelX 12431 KachelY + 1 21079 -0.75797826 -0.79866020 -43.428955 -45.759859
    Unten rechts KachelX + 1 12432 KachelY + 1 21079 -0.75778651 -0.79866020 -43.417969 -45.759859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79852641--0.79866020) × R
    0.000133790000000023 × 6371000     		dl = 852.376090000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79852641--0.79866020) × R
    0.000133790000000023 × 6371000     		dr = 852.376090000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75797826--0.75778651) × cos(-0.79852641) × R
    0.000191750000000046 × 0.697763041288735 × 6371000     		do = 852.414718437893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75797826--0.75778651) × cos(-0.79866020) × R
    0.000191750000000046 × 0.697667197433723 × 6371000     		du = 852.297631822739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79852641)-sin(-0.79866020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697763041288735-0.697667197433723)×R²
    abs(-0.75778651--0.75797826)×9.58438550120455e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58438550120455e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58438550120455e-05×40589641000000     		ar = 726528.024928484m²