Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12431 / 14607
↖ ↑ ↗
← N 19.155547°
W 43.428955°		 ← 1 154 m → N 19.155547°
W 43.417969°		 →
↑
1 154.04 m
↓
↑
1 154.04 m
↓
N 19.145168°
W 43.428955°		 ← 1 154.07 m →
1 331 806 m²		 N 19.145168°
W 43.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379379272460938 y=0.445785522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379379272460938 × 215)
    floor (0.379379272460938 × 32768)
    floor (12431.5)     		tx = 12431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445785522460938 × 215)
    floor (0.445785522460938 × 32768)
    floor (14607.5)     		ty = 14607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12431 / 14607 ti = "15/12431/14607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12431/14607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12431 ÷ 215
    12431 ÷ 32768     		x = 0.379364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14607 ÷ 215
    14607 ÷ 32768     		y = 0.445770263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.24127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75797826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445770263671875 × 2 - 1) × π
    0.10845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.340735482499359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75797826} λ = -0.75797826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340735482499359))-π/2
    2×atan(1.40598128501446)-π/2
    2×0.952561842063368-π/2
    1.90512368412674-1.57079632675     		φ = 0.33432736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75797826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.428955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33432736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.155547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12431 KachelY 14607 -0.75797826 0.33432736 -43.428955 19.155547
    Oben rechts KachelX + 1 12432 KachelY 14607 -0.75778651 0.33432736 -43.417969 19.155547
    Unten links KachelX 12431 KachelY + 1 14608 -0.75797826 0.33414622 -43.428955 19.145168
    Unten rechts KachelX + 1 12432 KachelY + 1 14608 -0.75778651 0.33414622 -43.417969 19.145168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33432736-0.33414622) × R
    0.000181140000000024 × 6371000     		dl = 1154.04294000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33432736-0.33414622) × R
    0.000181140000000024 × 6371000     		dr = 1154.04294000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75797826--0.75778651) × cos(0.33432736) × R
    0.000191750000000046 × 0.944631239263741 × 6371000     		do = 1153.998598661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75797826--0.75778651) × cos(0.33414622) × R
    0.000191750000000046 × 0.944690661931055 × 6371000     		du = 1154.07119172373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33432736)-sin(0.33414622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944631239263741-0.944690661931055)×R²
    abs(-0.75778651--0.75797826)×5.94226673141796e-05×R²
    0.000191750000000046×5.94226673141796e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.94226673141796e-05×40589641000000     		ar = 1331805.82695184m²