Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12430 / 21135
↖ ↑ ↗
← S 46.187437°
W 43.439941°		 ← 845.70 m → S 46.187437°
W 43.428955°		 →
↑
845.69 m
↓
↑
845.69 m
↓
S 46.195042°
W 43.439941°		 ← 845.58 m →
715 146 m²		 S 46.195042°
W 43.428955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379348754882812 y=0.645004272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379348754882812 × 215)
    floor (0.379348754882812 × 32768)
    floor (12430.5)     		tx = 12430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645004272460938 × 215)
    floor (0.645004272460938 × 32768)
    floor (21135.5)     		ty = 21135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12430 / 21135 ti = "15/12430/21135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12430/21135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12430 ÷ 215
    12430 ÷ 32768     		x = 0.37933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21135 ÷ 215
    21135 ÷ 32768     		y = 0.644989013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37933349609375 × 2 - 1) × π
    -0.2413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75817000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.28997802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.910992840379547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75817000} λ = -0.75817000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910992840379547))-π/2
    2×atan(0.402124780055137)-π/2
    2×0.382336740934851-π/2
    0.764673481869702-1.57079632675     		φ = -0.80612284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75817000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.439941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80612284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.187437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12430 KachelY 21135 -0.75817000 -0.80612284 -43.439941 -46.187437
    Oben rechts KachelX + 1 12431 KachelY 21135 -0.75797826 -0.80612284 -43.428955 -46.187437
    Unten links KachelX 12430 KachelY + 1 21136 -0.75817000 -0.80625558 -43.439941 -46.195042
    Unten rechts KachelX + 1 12431 KachelY + 1 21136 -0.75797826 -0.80625558 -43.428955 -46.195042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80612284--0.80625558) × R
    0.000132739999999965 × 6371000     		dl = 845.686539999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80612284--0.80625558) × R
    0.000132739999999965 × 6371000     		dr = 845.686539999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75817000--0.75797826) × cos(-0.80612284) × R
    0.000191739999999996 × 0.692301420785968 × 6371000     		do = 845.698481939368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75817000--0.75797826) × cos(-0.80625558) × R
    0.000191739999999996 × 0.692205628382587 × 6371000     		du = 845.58146428248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80612284)-sin(-0.80625558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692301420785968-0.692205628382587)×R²
    abs(-0.75797826--0.75817000)×9.57924033808677e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57924033808677e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57924033808677e-05×40589641000000     		ar = 715146.343995045m²