Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12426 / 4226
↖ ↑ ↗
← N 65.348514°
E 93.032226°		 ← 1 019.09 m → N 65.348514°
E 93.054199°		 →
↑
1 019.30 m
↓
↑
1 019.30 m
↓
N 65.339347°
E 93.032226°		 ← 1 019.44 m →
1 038 931 m²		 N 65.339347°
E 93.054199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758453369140625 y=0.257965087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758453369140625 × 214)
    floor (0.758453369140625 × 16384)
    floor (12426.5)     		tx = 12426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257965087890625 × 214)
    floor (0.257965087890625 × 16384)
    floor (4226.5)     		ty = 4226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12426 / 4226 ti = "14/12426/4226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12426/4226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12426 ÷ 214
    12426 ÷ 16384     		x = 0.7584228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4226 ÷ 214
    4226 ÷ 16384     		y = 0.2579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7584228515625 × 2 - 1) × π
    0.516845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62371866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2579345703125 × 2 - 1) × π
    0.484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52094195114514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62371866} λ = 1.62371866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52094195114514))-π/2
    2×atan(4.57653403694121)-π/2
    2×1.35567152686954-π/2
    2.71134305373908-1.57079632675     		φ = 1.14054673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62371866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.032226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14054673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.348514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12426 KachelY 4226 1.62371866 1.14054673 93.032226 65.348514
    Oben rechts KachelX + 1 12427 KachelY 4226 1.62410216 1.14054673 93.054199 65.348514
    Unten links KachelX 12426 KachelY + 1 4227 1.62371866 1.14038674 93.032226 65.339347
    Unten rechts KachelX + 1 12427 KachelY + 1 4227 1.62410216 1.14038674 93.054199 65.339347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14054673-1.14038674) × R
    0.000159989999999999 × 6371000     		dl = 1019.29628999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14054673-1.14038674) × R
    0.000159989999999999 × 6371000     		dr = 1019.29628999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62371866-1.62410216) × cos(1.14054673) × R
    0.000383500000000092 × 0.417097664379419 × 6371000     		do = 1019.0857557787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62371866-1.62410216) × cos(1.14038674) × R
    0.000383500000000092 × 0.417243067819479 × 6371000     		du = 1019.44101687762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14054673)-sin(1.14038674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417097664379419-0.417243067819479)×R²
    abs(1.62410216-1.62371866)×0.000145403440059588×R²
    0.000383500000000092×0.000145403440059588×6371000²
    0.000383500000000092×0.000145403440059588×40589641000000     		ar = 1038931.39043465m²