Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12424 / 13450
↖ ↑ ↗
← N 30.656816°
W 43.505859°		 ← 1 050.90 m → N 30.656816°
W 43.494873°		 →
↑
1 050.96 m
↓
↑
1 050.96 m
↓
N 30.647364°
W 43.505859°		 ← 1 051 m →
1 104 507 m²		 N 30.647364°
W 43.494873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379165649414062 y=0.410476684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379165649414062 × 215)
    floor (0.379165649414062 × 32768)
    floor (12424.5)     		tx = 12424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410476684570312 × 215)
    floor (0.410476684570312 × 32768)
    floor (13450.5)     		ty = 13450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12424 / 13450 ti = "15/12424/13450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12424/13450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12424 ÷ 215
    12424 ÷ 32768     		x = 0.379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13450 ÷ 215
    13450 ÷ 32768     		y = 0.41046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75932049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41046142578125 × 2 - 1) × π
    0.1790771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.562587453940979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75932049} λ = -0.75932049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562587453940979))-π/2
    2×atan(1.75520815011838)-π/2
    2×1.05292934827731-π/2
    2.10585869655462-1.57079632675     		φ = 0.53506237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75932049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53506237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.656816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12424 KachelY 13450 -0.75932049 0.53506237 -43.505859 30.656816
    Oben rechts KachelX + 1 12425 KachelY 13450 -0.75912874 0.53506237 -43.494873 30.656816
    Unten links KachelX 12424 KachelY + 1 13451 -0.75932049 0.53489741 -43.505859 30.647364
    Unten rechts KachelX + 1 12425 KachelY + 1 13451 -0.75912874 0.53489741 -43.494873 30.647364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53506237-0.53489741) × R
    0.000164959999999992 × 6371000     		dl = 1050.96015999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53506237-0.53489741) × R
    0.000164959999999992 × 6371000     		dr = 1050.96015999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75932049--0.75912874) × cos(0.53506237) × R
    0.000191750000000046 × 0.860236828815917 × 6371000     		do = 1050.89907437731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75932049--0.75912874) × cos(0.53489741) × R
    0.000191750000000046 × 0.860320929339861 × 6371000     		du = 1051.0018148783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53506237)-sin(0.53489741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860236828815917-0.860320929339861)×R²
    abs(-0.75912874--0.75932049)×8.41005239434756e-05×R²
    0.000191750000000046×8.41005239434756e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.41005239434756e-05×40589641000000     		ar = 1104507.04994284m²