Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12423 / 28549
↖ ↑ ↗
← N 22.568366°
W111.758423°		 ← 564.07 m → N 22.568366°
W111.752930°		 →
↑
564.02 m
↓
↑
564.02 m
↓
N 22.563293°
W111.758423°		 ← 564.09 m →
318 157 m²		 N 22.563293°
W111.752930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.189567565917969 y=0.435630798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.189567565917969 × 216)
    floor (0.189567565917969 × 65536)
    floor (12423.5)     		tx = 12423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435630798339844 × 216)
    floor (0.435630798339844 × 65536)
    floor (28549.5)     		ty = 28549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12423 / 28549 ti = "16/12423/28549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12423/28549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12423 ÷ 216
    12423 ÷ 65536     		x = 0.189559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28549 ÷ 216
    28549 ÷ 65536     		y = 0.435623168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.189559936523438 × 2 - 1) × π
    -0.620880126953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.95055245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435623168945312 × 2 - 1) × π
    0.128753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.404491558994034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.95055245} λ = -1.95055245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404491558994034))-π/2
    2×atan(1.49854038694659)-π/2
    2×0.982344308812896-π/2
    1.96468861762579-1.57079632675     		φ = 0.39389229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.95055245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.758423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39389229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.568366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12423 KachelY 28549 -1.95055245 0.39389229 -111.758423 22.568366
    Oben rechts KachelX + 1 12424 KachelY 28549 -1.95045657 0.39389229 -111.752930 22.568366
    Unten links KachelX 12423 KachelY + 1 28550 -1.95055245 0.39380376 -111.758423 22.563293
    Unten rechts KachelX + 1 12424 KachelY + 1 28550 -1.95045657 0.39380376 -111.752930 22.563293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39389229-0.39380376) × R
    8.85299999999756e-05 × 6371000     		dl = 564.024629999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39389229-0.39380376) × R
    8.85299999999756e-05 × 6371000     		dr = 564.024629999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.95055245--1.95045657) × cos(0.39389229) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.92342225388654 × 6371000     		do = 564.073850451159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.95055245--1.95045657) × cos(0.39380376) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.923456226801699 × 6371000     		du = 564.094602856664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39389229)-sin(0.39380376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92342225388654-0.923456226801699)×R²
    abs(-1.95045657--1.95055245)×3.39729151589419e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.39729151589419e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.39729151589419e-05×40589641000000     		ar = 318157.397435205m²