Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12423 / 20777
↖ ↑ ↗
← S 43.397065°
W 43.516846°		 ← 887.66 m → S 43.397065°
W 43.505859°		 →
↑
887.61 m
↓
↑
887.61 m
↓
S 43.405047°
W 43.516846°		 ← 887.54 m →
787 838 m²		 S 43.405047°
W 43.505859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379135131835938 y=0.634078979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379135131835938 × 215)
    floor (0.379135131835938 × 32768)
    floor (12423.5)     		tx = 12423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634078979492188 × 215)
    floor (0.634078979492188 × 32768)
    floor (20777.5)     		ty = 20777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12423 / 20777 ti = "15/12423/20777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12423/20777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12423 ÷ 215
    12423 ÷ 32768     		x = 0.379119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20777 ÷ 215
    20777 ÷ 32768     		y = 0.634063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.24176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75951224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.26812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.842347200123627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75951224} λ = -0.75951224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842347200123627))-π/2
    2×atan(0.43069840072706)-π/2
    2×0.406687326341736-π/2
    0.813374652683471-1.57079632675     		φ = -0.75742167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75951224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.516846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75742167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.397065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12423 KachelY 20777 -0.75951224 -0.75742167 -43.516846 -43.397065
    Oben rechts KachelX + 1 12424 KachelY 20777 -0.75932049 -0.75742167 -43.505859 -43.397065
    Unten links KachelX 12423 KachelY + 1 20778 -0.75951224 -0.75756099 -43.516846 -43.405047
    Unten rechts KachelX + 1 12424 KachelY + 1 20778 -0.75932049 -0.75756099 -43.505859 -43.405047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75742167--0.75756099) × R
    0.000139319999999943 × 6371000     		dl = 887.607719999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75742167--0.75756099) × R
    0.000139319999999943 × 6371000     		dr = 887.607719999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75951224--0.75932049) × cos(-0.75742167) × R
    0.000191749999999935 × 0.726609866326579 × 6371000     		do = 887.655132141501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75951224--0.75932049) × cos(-0.75756099) × R
    0.000191749999999935 × 0.726514139428596 × 6371000     		du = 887.538188405645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75742167)-sin(-0.75756099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726609866326579-0.726514139428596)×R²
    abs(-0.75932049--0.75951224)×9.57268979829839e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57268979829839e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57268979829839e-05×40589641000000     		ar = 787837.649178779m²