Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12421 / 20836
↖ ↑ ↗
← S 43.866218°
W 43.538818°		 ← 880.71 m → S 43.866218°
W 43.527832°		 →
↑
880.73 m
↓
↑
880.73 m
↓
S 43.874138°
W 43.538818°		 ← 880.59 m →
775 611 m²		 S 43.874138°
W 43.527832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379074096679688 y=0.635879516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379074096679688 × 215)
    floor (0.379074096679688 × 32768)
    floor (12421.5)     		tx = 12421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635879516601562 × 215)
    floor (0.635879516601562 × 32768)
    floor (20836.5)     		ty = 20836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12421 / 20836 ti = "15/12421/20836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12421/20836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12421 ÷ 215
    12421 ÷ 32768     		x = 0.379058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20836 ÷ 215
    20836 ÷ 32768     		y = 0.6358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.24188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75989573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.271728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.85366030843396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75989573} λ = -0.75989573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85366030843396))-π/2
    2×atan(0.42585332120053)-π/2
    2×0.402593196100227-π/2
    0.805186392200455-1.57079632675     		φ = -0.76560993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75989573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.538818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76560993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.866218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12421 KachelY 20836 -0.75989573 -0.76560993 -43.538818 -43.866218
    Oben rechts KachelX + 1 12422 KachelY 20836 -0.75970399 -0.76560993 -43.527832 -43.866218
    Unten links KachelX 12421 KachelY + 1 20837 -0.75989573 -0.76574817 -43.538818 -43.874138
    Unten rechts KachelX + 1 12422 KachelY + 1 20837 -0.75970399 -0.76574817 -43.527832 -43.874138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76560993--0.76574817) × R
    0.000138239999999956 × 6371000     		dl = 880.727039999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76560993--0.76574817) × R
    0.000138239999999956 × 6371000     		dr = 880.727039999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75989573--0.75970399) × cos(-0.76560993) × R
    0.000191739999999996 × 0.72095982418888 × 6371000     		do = 880.706886551817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75989573--0.75970399) × cos(-0.76574817) × R
    0.000191739999999996 × 0.72086402017884 × 6371000     		du = 880.589854716519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76560993)-sin(-0.76574817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72095982418888-0.72086402017884)×R²
    abs(-0.75970399--0.75989573)×9.58040100397239e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58040100397239e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58040100397239e-05×40589641000000     		ar = 775610.833984794m²