Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12420 / 20835
↖ ↑ ↗
← S 43.858297°
W 43.549805°		 ← 880.87 m → S 43.858297°
W 43.538818°		 →
↑
880.79 m
↓
↑
880.79 m
↓
S 43.866218°
W 43.549805°		 ← 880.75 m →
775 810 m²		 S 43.866218°
W 43.538818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379043579101562 y=0.635848999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379043579101562 × 215)
    floor (0.379043579101562 × 32768)
    floor (12420.5)     		tx = 12420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635848999023438 × 215)
    floor (0.635848999023438 × 32768)
    floor (20835.5)     		ty = 20835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12420 / 20835 ti = "15/12420/20835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12420/20835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12420 ÷ 215
    12420 ÷ 32768     		x = 0.3790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20835 ÷ 215
    20835 ÷ 32768     		y = 0.635833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76008748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.27166748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.85346856083548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76008748} λ = -0.76008748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85346856083548))-π/2
    2×atan(0.42593498538138)-π/2
    2×0.402662321849644-π/2
    0.805324643699288-1.57079632675     		φ = -0.76547168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76008748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76547168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.858297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12420 KachelY 20835 -0.76008748 -0.76547168 -43.549805 -43.858297
    Oben rechts KachelX + 1 12421 KachelY 20835 -0.75989573 -0.76547168 -43.538818 -43.858297
    Unten links KachelX 12420 KachelY + 1 20836 -0.76008748 -0.76560993 -43.549805 -43.866218
    Unten rechts KachelX + 1 12421 KachelY + 1 20836 -0.75989573 -0.76560993 -43.538818 -43.866218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76547168--0.76560993) × R
    0.000138250000000006 × 6371000     		dl = 880.790750000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76547168--0.76560993) × R
    0.000138250000000006 × 6371000     		dr = 880.790750000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76008748--0.75989573) × cos(-0.76547168) × R
    0.000191750000000046 × 0.721055621349935 × 6371000     		do = 880.86984847443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76008748--0.75989573) × cos(-0.76560993) × R
    0.000191750000000046 × 0.72095982418888 × 6371000     		du = 880.752818902447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76547168)-sin(-0.76560993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721055621349935-0.72095982418888)×R²
    abs(-0.75989573--0.76008748)×9.57971610549002e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57971610549002e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57971610549002e-05×40589641000000     		ar = 775810.476443446m²