Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12420 / 20818
↖ ↑ ↗
← S 43.723475°
W 43.549805°		 ← 882.86 m → S 43.723475°
W 43.538818°		 →
↑
882.77 m
↓
↑
882.77 m
↓
S 43.731414°
W 43.549805°		 ← 882.74 m →
779 306 m²		 S 43.731414°
W 43.538818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379043579101562 y=0.635330200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379043579101562 × 215)
    floor (0.379043579101562 × 32768)
    floor (12420.5)     		tx = 12420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635330200195312 × 215)
    floor (0.635330200195312 × 32768)
    floor (20818.5)     		ty = 20818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12420 / 20818 ti = "15/12420/20818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12420/20818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12420 ÷ 215
    12420 ÷ 32768     		x = 0.3790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20818 ÷ 215
    20818 ÷ 32768     		y = 0.63531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76008748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63531494140625 × 2 - 1) × π
    -0.2706298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.850208851661316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76008748} λ = -0.76008748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850208851661316))-π/2
    2×atan(0.427325674951179)-π/2
    2×0.403838864731085-π/2
    0.807677729462169-1.57079632675     		φ = -0.76311860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76008748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76311860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.723475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12420 KachelY 20818 -0.76008748 -0.76311860 -43.549805 -43.723475
    Oben rechts KachelX + 1 12421 KachelY 20818 -0.75989573 -0.76311860 -43.538818 -43.723475
    Unten links KachelX 12420 KachelY + 1 20819 -0.76008748 -0.76325716 -43.549805 -43.731414
    Unten rechts KachelX + 1 12421 KachelY + 1 20819 -0.75989573 -0.76325716 -43.538818 -43.731414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76311860--0.76325716) × R
    0.00013856000000001 × 6371000     		dl = 882.765760000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76311860--0.76325716) × R
    0.00013856000000001 × 6371000     		dr = 882.765760000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76008748--0.75989573) × cos(-0.76311860) × R
    0.000191750000000046 × 0.722684019051131 × 6371000     		do = 882.859163020822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76008748--0.75989573) × cos(-0.76325716) × R
    0.000191750000000046 × 0.722588242412122 × 6371000     		du = 882.742158519375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76311860)-sin(-0.76325716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722684019051131-0.722588242412122)×R²
    abs(-0.75989573--0.76008748)×9.57766390087267e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57766390087267e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57766390087267e-05×40589641000000     		ar = 779306.197480707m²