Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12419 / 20726
↖ ↑ ↗
← S 42.988576°
W 43.560791°		 ← 893.62 m → S 42.988576°
W 43.549805°		 →
↑
893.53 m
↓
↑
893.53 m
↓
S 42.996612°
W 43.560791°		 ← 893.50 m →
798 423 m²		 S 42.996612°
W 43.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379013061523438 y=0.632522583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379013061523438 × 215)
    floor (0.379013061523438 × 32768)
    floor (12419.5)     		tx = 12419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632522583007812 × 215)
    floor (0.632522583007812 × 32768)
    floor (20726.5)     		ty = 20726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12419 / 20726 ti = "15/12419/20726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12419/20726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12419 ÷ 215
    12419 ÷ 32768     		x = 0.378997802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20726 ÷ 215
    20726 ÷ 32768     		y = 0.63250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378997802734375 × 2 - 1) × π
    -0.24200439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76027923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63250732421875 × 2 - 1) × π
    -0.2650146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.832568072601135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76027923} λ = -0.76027923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832568072601135))-π/2
    2×atan(0.434930916738368)-π/2
    2×0.410252063434632-π/2
    0.820504126869265-1.57079632675     		φ = -0.75029220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76027923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.560791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75029220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.988576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12419 KachelY 20726 -0.76027923 -0.75029220 -43.560791 -42.988576
    Oben rechts KachelX + 1 12420 KachelY 20726 -0.76008748 -0.75029220 -43.549805 -42.988576
    Unten links KachelX 12419 KachelY + 1 20727 -0.76027923 -0.75043245 -43.560791 -42.996612
    Unten rechts KachelX + 1 12420 KachelY + 1 20727 -0.76008748 -0.75043245 -43.549805 -42.996612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75029220--0.75043245) × R
    0.000140250000000064 × 6371000     		dl = 893.532750000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75029220--0.75043245) × R
    0.000140250000000064 × 6371000     		dr = 893.532750000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76027923--0.76008748) × cos(-0.75029220) × R
    0.000191749999999935 × 0.731489662794871 × 6371000     		do = 893.616483039177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76027923--0.76008748) × cos(-0.75043245) × R
    0.000191749999999935 × 0.731394025783571 × 6371000     		du = 893.49964911242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75029220)-sin(-0.75043245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731489662794871-0.731394025783571)×R²
    abs(-0.76008748--0.76027923)×9.56370112999982e-05×R²
    0.000191749999999935×9.56370112999982e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.56370112999982e-05×40589641000000     		ar = 798423.397374278m²