Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124183 / 25992
↖ ↑ ↗
← N 72.913181°
E161.078796°		 ← 89.74 m → N 72.913181°
E161.081543°		 →
↑
89.70 m
↓
↑
89.70 m
↓
N 72.912374°
E161.078796°		 ← 89.74 m →
8 050 m²		 N 72.912374°
E161.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947444915771484 y=0.198307037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947444915771484 × 217)
    floor (0.947444915771484 × 131072)
    floor (124183.5)     		tx = 124183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198307037353516 × 217)
    floor (0.198307037353516 × 131072)
    floor (25992.5)     		ty = 25992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124183 / 25992 ti = "17/124183/25992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124183/25992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124183 ÷ 217
    124183 ÷ 131072     		x = 0.947441101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25992 ÷ 217
    25992 ÷ 131072     		y = 0.19830322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947441101074219 × 2 - 1) × π
    0.894882202148438 × 3.1415926535     		Λ = 2.81135535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19830322265625 × 2 - 1) × π
    0.6033935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8956167585755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.81135535} λ = 2.81135535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8956167585755))-π/2
    2×atan(6.65665268645576)-π/2
    2×1.42168569846663-π/2
    2.84337139693326-1.57079632675     		φ = 1.27257507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.81135535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.078796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27257507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.913181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124183 KachelY 25992 2.81135535 1.27257507 161.078796 72.913181
    Oben rechts KachelX + 1 124184 KachelY 25992 2.81140329 1.27257507 161.081543 72.913181
    Unten links KachelX 124183 KachelY + 1 25993 2.81135535 1.27256099 161.078796 72.912374
    Unten rechts KachelX + 1 124184 KachelY + 1 25993 2.81140329 1.27256099 161.081543 72.912374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27257507-1.27256099) × R
    1.40800000001384e-05 × 6371000     		dl = 89.7036800008819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27257507-1.27256099) × R
    1.40800000001384e-05 × 6371000     		dr = 89.7036800008819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.81135535-2.81140329) × cos(1.27257507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293820441766681 × 6371000     		do = 89.7403258536567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.81135535-2.81140329) × cos(1.27256099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293833900255256 × 6371000     		du = 89.744436422489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27257507)-sin(1.27256099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293820441766681-0.293833900255256)×R²
    abs(2.81140329-2.81135535)×1.34584885752576e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34584885752576e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34584885752576e-05×40589641000000     		ar = 8050.22184013471m²