Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124181 / 25994
↖ ↑ ↗
← N 72.911567°
E161.073303°		 ← 89.75 m → N 72.911567°
E161.076050°		 →
↑
89.77 m
↓
↑
89.77 m
↓
N 72.910759°
E161.073303°		 ← 89.75 m →
8 057 m²		 N 72.910759°
E161.076050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947429656982422 y=0.198322296142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947429656982422 × 217)
    floor (0.947429656982422 × 131072)
    floor (124181.5)     		tx = 124181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198322296142578 × 217)
    floor (0.198322296142578 × 131072)
    floor (25994.5)     		ty = 25994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124181 / 25994 ti = "17/124181/25994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124181/25994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124181 ÷ 217
    124181 ÷ 131072     		x = 0.947425842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25994 ÷ 217
    25994 ÷ 131072     		y = 0.198318481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947425842285156 × 2 - 1) × π
    0.894851684570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.81125948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198318481445312 × 2 - 1) × π
    0.603363037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89552088477626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.81125948} λ = 2.81125948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89552088477626))-π/2
    2×atan(6.65601451846477)-π/2
    2×1.42167161298022-π/2
    2.84334322596043-1.57079632675     		φ = 1.27254690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.81125948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.073303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27254690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.911567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124181 KachelY 25994 2.81125948 1.27254690 161.073303 72.911567
    Oben rechts KachelX + 1 124182 KachelY 25994 2.81130742 1.27254690 161.076050 72.911567
    Unten links KachelX 124181 KachelY + 1 25995 2.81125948 1.27253281 161.073303 72.910759
    Unten rechts KachelX + 1 124182 KachelY + 1 25995 2.81130742 1.27253281 161.076050 72.910759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27254690-1.27253281) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dl = 89.7673900004947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27254690-1.27253281) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dr = 89.7673900004947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.81125948-2.81130742) × cos(1.27254690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293847368244103 × 6371000     		do = 89.7485498929489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.81125948-2.81130742) × cos(1.27253281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293860836174614 × 6371000     		du = 89.7526633455913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27254690)-sin(1.27253281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293847368244103-0.293860836174614)×R²
    abs(2.81130742-2.81125948)×1.34679305102692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34679305102692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34679305102692e-05×40589641000000     		ar = 8056.6777072461m²