Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124173 / 26003
↖ ↑ ↗
← N 72.904301°
E161.051330°		 ← 89.79 m → N 72.904301°
E161.054077°		 →
↑
89.77 m
↓
↑
89.77 m
↓
N 72.903494°
E161.051330°		 ← 89.79 m →
8 060 m²		 N 72.903494°
E161.054077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947368621826172 y=0.198390960693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947368621826172 × 217)
    floor (0.947368621826172 × 131072)
    floor (124173.5)     		tx = 124173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198390960693359 × 217)
    floor (0.198390960693359 × 131072)
    floor (26003.5)     		ty = 26003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124173 / 26003 ti = "17/124173/26003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124173/26003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124173 ÷ 217
    124173 ÷ 131072     		x = 0.947364807128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26003 ÷ 217
    26003 ÷ 131072     		y = 0.198387145996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947364807128906 × 2 - 1) × π
    0.894729614257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.81087598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198387145996094 × 2 - 1) × π
    0.603225708007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.89508945267968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.81087598} λ = 2.81087598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89508945267968))-π/2
    2×atan(6.65314351953128)-π/2
    2×1.42160821231528-π/2
    2.84321642463056-1.57079632675     		φ = 1.27242010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.81087598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.051330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27242010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.904301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124173 KachelY 26003 2.81087598 1.27242010 161.051330 72.904301
    Oben rechts KachelX + 1 124174 KachelY 26003 2.81092392 1.27242010 161.054077 72.904301
    Unten links KachelX 124173 KachelY + 1 26004 2.81087598 1.27240601 161.051330 72.903494
    Unten rechts KachelX + 1 124174 KachelY + 1 26004 2.81092392 1.27240601 161.054077 72.903494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27242010-1.27240601) × R
    1.40899999998556e-05 × 6371000     		dl = 89.7673899990801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27242010-1.27240601) × R
    1.40899999998556e-05 × 6371000     		dr = 89.7673899990801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.81087598-2.81092392) × cos(1.27242010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293968567960093 × 6371000     		do = 89.7855674058929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.81087598-2.81092392) × cos(1.27240601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293982035365492 × 6371000     		du = 89.7896806981526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27242010)-sin(1.27240601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293968567960093-0.293982035365492)×R²
    abs(2.81092392-2.81087598)×1.34674053985373e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34674053985373e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34674053985373e-05×40589641000000     		ar = 8060.00066559918m²