Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124170 / 26001
↖ ↑ ↗
← N 72.905916°
E161.043091°		 ← 89.78 m → N 72.905916°
E161.045837°		 →
↑
89.77 m
↓
↑
89.77 m
↓
N 72.905109°
E161.043091°		 ← 89.78 m →
8 059 m²		 N 72.905109°
E161.045837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947345733642578 y=0.198375701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947345733642578 × 217)
    floor (0.947345733642578 × 131072)
    floor (124170.5)     		tx = 124170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198375701904297 × 217)
    floor (0.198375701904297 × 131072)
    floor (26001.5)     		ty = 26001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124170 / 26001 ti = "17/124170/26001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124170/26001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124170 ÷ 217
    124170 ÷ 131072     		x = 0.947341918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26001 ÷ 217
    26001 ÷ 131072     		y = 0.198371887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947341918945312 × 2 - 1) × π
    0.894683837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.81073217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198371887207031 × 2 - 1) × π
    0.603256225585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.89518532647892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.81073217} λ = 2.81073217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89518532647892))-π/2
    2×atan(6.6537814122555)-π/2
    2×1.42162230361145-π/2
    2.84324460722291-1.57079632675     		φ = 1.27244828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.81073217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.043091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27244828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.905916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124170 KachelY 26001 2.81073217 1.27244828 161.043091 72.905916
    Oben rechts KachelX + 1 124171 KachelY 26001 2.81078011 1.27244828 161.045837 72.905916
    Unten links KachelX 124170 KachelY + 1 26002 2.81073217 1.27243419 161.043091 72.905109
    Unten rechts KachelX + 1 124171 KachelY + 1 26002 2.81078011 1.27243419 161.045837 72.905109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27244828-1.27243419) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dl = 89.7673900004947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27244828-1.27243419) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dr = 89.7673900004947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.81073217-2.81078011) × cos(1.27244828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293941632974215 × 6371000     		do = 89.7773407678992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.81073217-2.81078011) × cos(1.27243419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293955100496333 × 6371000     		du = 89.7814540958081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27244828)-sin(1.27243419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293941632974215-0.293955100496333)×R²
    abs(2.81078011-2.81073217)×1.34675221180602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34675221180602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34675221180602e-05×40589641000000     		ar = 8059.26218345807m²