Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12415 / 13185
↖ ↑ ↗
← N 33.128351°
W 43.604736°		 ← 1 023.06 m → N 33.128351°
W 43.593750°		 →
↑
1 023.06 m
↓
↑
1 023.06 m
↓
N 33.119150°
W 43.604736°		 ← 1 023.17 m →
1 046 701 m²		 N 33.119150°
W 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378890991210938 y=0.402389526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378890991210938 × 215)
    floor (0.378890991210938 × 32768)
    floor (12415.5)     		tx = 12415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402389526367188 × 215)
    floor (0.402389526367188 × 32768)
    floor (13185.5)     		ty = 13185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12415 / 13185 ti = "15/12415/13185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12415/13185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12415 ÷ 215
    12415 ÷ 32768     		x = 0.378875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13185 ÷ 215
    13185 ÷ 32768     		y = 0.402374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76104622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402374267578125 × 2 - 1) × π
    0.19525146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.613400567538239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76104622} λ = -0.76104622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613400567538239))-π/2
    2×atan(1.84670056337017)-π/2
    2×1.07449756541559-π/2
    2.14899513083117-1.57079632675     		φ = 0.57819880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76104622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.604736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57819880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.128351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12415 KachelY 13185 -0.76104622 0.57819880 -43.604736 33.128351
    Oben rechts KachelX + 1 12416 KachelY 13185 -0.76085447 0.57819880 -43.593750 33.128351
    Unten links KachelX 12415 KachelY + 1 13186 -0.76104622 0.57803822 -43.604736 33.119150
    Unten rechts KachelX + 1 12416 KachelY + 1 13186 -0.76085447 0.57803822 -43.593750 33.119150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57819880-0.57803822) × R
    0.000160579999999966 × 6371000     		dl = 1023.05517999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57819880-0.57803822) × R
    0.000160579999999966 × 6371000     		dr = 1023.05517999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76104622--0.76085447) × cos(0.57819880) × R
    0.000191750000000046 × 0.837448393219904 × 6371000     		do = 1023.05982700711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76104622--0.76085447) × cos(0.57803822) × R
    0.000191750000000046 × 0.837536142027786 × 6371000     		du = 1023.16702439496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57819880)-sin(0.57803822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837448393219904-0.837536142027786)×R²
    abs(-0.76085447--0.76104622)×8.77488078822042e-05×R²
    0.000191750000000046×8.77488078822042e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.77488078822042e-05×40589641000000     		ar = 1046701.49213975m²