Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124148 / 25964
↖ ↑ ↗
← N 72.935762°
E160.982666°		 ← 89.63 m → N 72.935762°
E160.985413°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
N 72.934956°
E160.982666°		 ← 89.63 m →
8 028 m²		 N 72.934956°
E160.985413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947177886962891 y=0.198093414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947177886962891 × 217)
    floor (0.947177886962891 × 131072)
    floor (124148.5)     		tx = 124148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198093414306641 × 217)
    floor (0.198093414306641 × 131072)
    floor (25964.5)     		ty = 25964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124148 / 25964 ti = "17/124148/25964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124148/25964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124148 ÷ 217
    124148 ÷ 131072     		x = 0.947174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25964 ÷ 217
    25964 ÷ 131072     		y = 0.198089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947174072265625 × 2 - 1) × π
    0.89434814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80967756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198089599609375 × 2 - 1) × π
    0.60382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89695899176486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80967756} λ = 2.80967756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89695899176486))-π/2
    2×atan(6.66559346558452)-π/2
    2×1.42188275979508-π/2
    2.84376551959017-1.57079632675     		φ = 1.27296919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80967756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.982666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27296919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.935762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124148 KachelY 25964 2.80967756 1.27296919 160.982666 72.935762
    Oben rechts KachelX + 1 124149 KachelY 25964 2.80972550 1.27296919 160.985413 72.935762
    Unten links KachelX 124148 KachelY + 1 25965 2.80967756 1.27295513 160.982666 72.934956
    Unten rechts KachelX + 1 124149 KachelY + 1 25965 2.80972550 1.27295513 160.985413 72.934956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27296919-1.27295513) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27296919-1.27295513) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80967756-2.80972550) × cos(1.27296919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293443695164462 × 6371000     		do = 89.6252577438814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80967756-2.80972550) × cos(1.27295513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293457136163056 × 6371000     		du = 89.6293629708233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27296919)-sin(1.27295513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293443695164462-0.293457136163056)×R²
    abs(2.80972550-2.80967756)×1.344099859385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.344099859385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.344099859385e-05×40589641000000     		ar = 8028.47925595242m²