Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124143 / 26002
↖ ↑ ↗
← N 72.905109°
E160.968933°		 ← 89.76 m → N 72.905109°
E160.971680°		 →
↑
89.77 m
↓
↑
89.77 m
↓
N 72.904301°
E160.968933°		 ← 89.77 m →
8 058 m²		 N 72.904301°
E160.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947139739990234 y=0.198383331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947139739990234 × 217)
    floor (0.947139739990234 × 131072)
    floor (124143.5)     		tx = 124143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198383331298828 × 217)
    floor (0.198383331298828 × 131072)
    floor (26002.5)     		ty = 26002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124143 / 26002 ti = "17/124143/26002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124143/26002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124143 ÷ 217
    124143 ÷ 131072     		x = 0.947135925292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26002 ÷ 217
    26002 ÷ 131072     		y = 0.198379516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947135925292969 × 2 - 1) × π
    0.894271850585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.80943788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198379516601562 × 2 - 1) × π
    0.603240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8951373895793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80943788} λ = 2.80943788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8951373895793))-π/2
    2×atan(6.65346245824874)-π/2
    2×1.42161525812478-π/2
    2.84323051624956-1.57079632675     		φ = 1.27243419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80943788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.968933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27243419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.905109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124143 KachelY 26002 2.80943788 1.27243419 160.968933 72.905109
    Oben rechts KachelX + 1 124144 KachelY 26002 2.80948581 1.27243419 160.971680 72.905109
    Unten links KachelX 124143 KachelY + 1 26003 2.80943788 1.27242010 160.968933 72.904301
    Unten rechts KachelX + 1 124144 KachelY + 1 26003 2.80948581 1.27242010 160.971680 72.904301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27243419-1.27242010) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dl = 89.7673900004947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27243419-1.27242010) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dr = 89.7673900004947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80943788-2.80948581) × cos(1.27243419) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293955100496333 × 6371000     		do = 89.7627262164693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80943788-2.80948581) × cos(1.27242010) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293968567960093 × 6371000     		du = 89.7668386685419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27243419)-sin(1.27242010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293955100496333-0.293968567960093)×R²
    abs(2.80948581-2.80943788)×1.34674637597976e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34674637597976e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34674637597976e-05×40589641000000     		ar = 8057.95023381749m²