Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124141 / 25963
↖ ↑ ↗
← N 72.936568°
E160.963440°		 ← 89.62 m → N 72.936568°
E160.966187°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
N 72.935762°
E160.963440°		 ← 89.63 m →
8 034 m²		 N 72.935762°
E160.966187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947124481201172 y=0.198085784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947124481201172 × 217)
    floor (0.947124481201172 × 131072)
    floor (124141.5)     		tx = 124141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198085784912109 × 217)
    floor (0.198085784912109 × 131072)
    floor (25963.5)     		ty = 25963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124141 / 25963 ti = "17/124141/25963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124141/25963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124141 ÷ 217
    124141 ÷ 131072     		x = 0.947120666503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25963 ÷ 217
    25963 ÷ 131072     		y = 0.198081970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947120666503906 × 2 - 1) × π
    0.894241333007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.80934200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198081970214844 × 2 - 1) × π
    0.603836059570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.89700692866448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80934200} λ = 2.80934200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89700692866448))-π/2
    2×atan(6.6659130011281)-π/2
    2×1.42188979302434-π/2
    2.84377958604869-1.57079632675     		φ = 1.27298326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80934200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.963440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27298326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.936568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124141 KachelY 25963 2.80934200 1.27298326 160.963440 72.936568
    Oben rechts KachelX + 1 124142 KachelY 25963 2.80938994 1.27298326 160.966187 72.936568
    Unten links KachelX 124141 KachelY + 1 25964 2.80934200 1.27296919 160.963440 72.935762
    Unten rechts KachelX + 1 124142 KachelY + 1 25964 2.80938994 1.27296919 160.966187 72.935762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27298326-1.27296919) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27298326-1.27296919) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80934200-2.80938994) × cos(1.27298326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293430244548054 × 6371000     		do = 89.6211495794117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80934200-2.80938994) × cos(1.27296919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293443695164462 × 6371000     		du = 89.6252577438814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27298326)-sin(1.27296919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293430244548054-0.293443695164462)×R²
    abs(2.80938994-2.80934200)×1.34506164076176e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34506164076176e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34506164076176e-05×40589641000000     		ar = 8033.82128758301m²