Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124140 / 26028
↖ ↑ ↗
← N 72.884105°
E160.960694°		 ← 89.87 m → N 72.884105°
E160.963440°		 →
↑
89.89 m
↓
↑
89.89 m
↓
N 72.883296°
E160.960694°		 ← 89.87 m →
8 079 m²		 N 72.883296°
E160.963440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947116851806641 y=0.198581695556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947116851806641 × 217)
    floor (0.947116851806641 × 131072)
    floor (124140.5)     		tx = 124140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198581695556641 × 217)
    floor (0.198581695556641 × 131072)
    floor (26028.5)     		ty = 26028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124140 / 26028 ti = "17/124140/26028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124140/26028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124140 ÷ 217
    124140 ÷ 131072     		x = 0.947113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26028 ÷ 217
    26028 ÷ 131072     		y = 0.198577880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947113037109375 × 2 - 1) × π
    0.89422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80929407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198577880859375 × 2 - 1) × π
    0.60284423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89389103018918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80929407} λ = 2.80929407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89389103018918))-π/2
    2×atan(6.64517501847409)-π/2
    2×1.42143196212061-π/2
    2.84286392424121-1.57079632675     		φ = 1.27206760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80929407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.960694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27206760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.884105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124140 KachelY 26028 2.80929407 1.27206760 160.960694 72.884105
    Oben rechts KachelX + 1 124141 KachelY 26028 2.80934200 1.27206760 160.963440 72.884105
    Unten links KachelX 124140 KachelY + 1 26029 2.80929407 1.27205349 160.960694 72.883296
    Unten rechts KachelX + 1 124141 KachelY + 1 26029 2.80934200 1.27205349 160.963440 72.883296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27206760-1.27205349) × R
    1.41099999999561e-05 × 6371000     		dl = 89.8948099997203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27206760-1.27205349) × R
    1.41099999999561e-05 × 6371000     		dr = 89.8948099997203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80929407-2.80934200) × cos(1.27206760) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294305474507662 × 6371000     		do = 89.869717135828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80929407-2.80934200) × cos(1.27205349) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294318959566275 × 6371000     		du = 89.8738349607006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27206760)-sin(1.27205349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294305474507662-0.294318959566275)×R²
    abs(2.80934200-2.80929407)×1.3485058612539e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.3485058612539e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.3485058612539e-05×40589641000000     		ar = 8079.00623234936m²