Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124140 / 26025
↖ ↑ ↗
← N 72.886529°
E160.960694°		 ← 89.86 m → N 72.886529°
E160.963440°		 →
↑
89.89 m
↓
↑
89.89 m
↓
N 72.885721°
E160.960694°		 ← 89.86 m →
8 078 m²		 N 72.885721°
E160.963440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947116851806641 y=0.198558807373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947116851806641 × 217)
    floor (0.947116851806641 × 131072)
    floor (124140.5)     		tx = 124140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198558807373047 × 217)
    floor (0.198558807373047 × 131072)
    floor (26025.5)     		ty = 26025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124140 / 26025 ti = "17/124140/26025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124140/26025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124140 ÷ 217
    124140 ÷ 131072     		x = 0.947113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26025 ÷ 217
    26025 ÷ 131072     		y = 0.198554992675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947113037109375 × 2 - 1) × π
    0.89422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80929407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198554992675781 × 2 - 1) × π
    0.602890014648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.89403484088804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80929407} λ = 2.80929407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89403484088804))-π/2
    2×atan(6.64613073445699)-π/2
    2×1.42145312280455-π/2
    2.84290624560909-1.57079632675     		φ = 1.27210992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80929407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.960694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27210992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.886529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124140 KachelY 26025 2.80929407 1.27210992 160.960694 72.886529
    Oben rechts KachelX + 1 124141 KachelY 26025 2.80934200 1.27210992 160.963440 72.886529
    Unten links KachelX 124140 KachelY + 1 26026 2.80929407 1.27209581 160.960694 72.885721
    Unten rechts KachelX + 1 124141 KachelY + 1 26026 2.80934200 1.27209581 160.963440 72.885721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27210992-1.27209581) × R
    1.41099999999561e-05 × 6371000     		dl = 89.8948099997203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27210992-1.27209581) × R
    1.41099999999561e-05 × 6371000     		dr = 89.8948099997203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80929407-2.80934200) × cos(1.27210992) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294265028537511 × 6371000     		do = 89.8573664722771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80929407-2.80934200) × cos(1.27209581) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294278513771855 × 6371000     		du = 89.8614843508117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27210992)-sin(1.27209581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294265028537511-0.294278513771855)×R²
    abs(2.80934200-2.80929407)×1.34852343446346e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34852343446346e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34852343446346e-05×40589641000000     		ar = 8077.8959742392m²