Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124140 / 25965
↖ ↑ ↗
← N 72.934956°
E160.960694°		 ← 89.61 m → N 72.934956°
E160.963440°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
N 72.934150°
E160.960694°		 ← 89.61 m →
8 033 m²		 N 72.934150°
E160.963440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947116851806641 y=0.198101043701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947116851806641 × 217)
    floor (0.947116851806641 × 131072)
    floor (124140.5)     		tx = 124140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198101043701172 × 217)
    floor (0.198101043701172 × 131072)
    floor (25965.5)     		ty = 25965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124140 / 25965 ti = "17/124140/25965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124140/25965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124140 ÷ 217
    124140 ÷ 131072     		x = 0.947113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25965 ÷ 217
    25965 ÷ 131072     		y = 0.198097229003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947113037109375 × 2 - 1) × π
    0.89422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80929407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198097229003906 × 2 - 1) × π
    0.603805541992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.89691105486524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80929407} λ = 2.80929407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89691105486524))-π/2
    2×atan(6.66527394535812)-π/2
    2×1.42187572624351-π/2
    2.84375145248702-1.57079632675     		φ = 1.27295513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80929407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.960694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27295513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.934956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124140 KachelY 25965 2.80929407 1.27295513 160.960694 72.934956
    Oben rechts KachelX + 1 124141 KachelY 25965 2.80934200 1.27295513 160.963440 72.934956
    Unten links KachelX 124140 KachelY + 1 25966 2.80929407 1.27294106 160.960694 72.934150
    Unten rechts KachelX + 1 124141 KachelY + 1 25966 2.80934200 1.27294106 160.963440 72.934150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27295513-1.27294106) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27295513-1.27294106) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80929407-2.80934200) × cos(1.27295513) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293457136163056 × 6371000     		do = 89.6106668167919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80929407-2.80934200) × cos(1.27294106) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293470586663319 × 6371000     		du = 89.6147740888568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27295513)-sin(1.27294106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293457136163056-0.293470586663319)×R²
    abs(2.80934200-2.80929407)×1.34505002631347e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34505002631347e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34505002631347e-05×40589641000000     		ar = 8032.88157310312m²