Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124137 / 26024
↖ ↑ ↗
← N 72.887337°
E160.952453°		 ← 89.87 m → N 72.887337°
E160.955200°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
N 72.886529°
E160.952453°		 ← 89.88 m →
8 073 m²		 N 72.886529°
E160.955200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947093963623047 y=0.198551177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947093963623047 × 217)
    floor (0.947093963623047 × 131072)
    floor (124137.5)     		tx = 124137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198551177978516 × 217)
    floor (0.198551177978516 × 131072)
    floor (26024.5)     		ty = 26024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124137 / 26024 ti = "17/124137/26024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124137/26024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124137 ÷ 217
    124137 ÷ 131072     		x = 0.947090148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26024 ÷ 217
    26024 ÷ 131072     		y = 0.19854736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947090148925781 × 2 - 1) × π
    0.894180297851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.80915025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19854736328125 × 2 - 1) × π
    0.6029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89408277778766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80915025} λ = 2.80915025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89408277778766))-π/2
    2×atan(6.64644933699522)-π/2
    2×1.42146017571958-π/2
    2.84292035143915-1.57079632675     		φ = 1.27212402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80915025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.952453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27212402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.887337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124137 KachelY 26024 2.80915025 1.27212402 160.952453 72.887337
    Oben rechts KachelX + 1 124138 KachelY 26024 2.80919819 1.27212402 160.955200 72.887337
    Unten links KachelX 124137 KachelY + 1 26025 2.80915025 1.27210992 160.952453 72.886529
    Unten rechts KachelX + 1 124138 KachelY + 1 26025 2.80919819 1.27210992 160.955200 72.886529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27212402-1.27210992) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27212402-1.27210992) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80915025-2.80919819) × cos(1.27212402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29425155280186 × 6371000     		do = 89.8719982605982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80915025-2.80919819) × cos(1.27210992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294265028537511 × 6371000     		du = 89.8761140971313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27212402)-sin(1.27210992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29425155280186-0.294265028537511)×R²
    abs(2.80919819-2.80915025)×1.347573565047e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.347573565047e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.347573565047e-05×40589641000000     		ar = 8073.48532810838m²