Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124135 / 26005
↖ ↑ ↗
← N 72.902686°
E160.946960°		 ← 89.79 m → N 72.902686°
E160.949707°		 →
↑
89.77 m
↓
↑
89.77 m
↓
N 72.901879°
E160.946960°		 ← 89.80 m →
8 061 m²		 N 72.901879°
E160.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947078704833984 y=0.198406219482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947078704833984 × 217)
    floor (0.947078704833984 × 131072)
    floor (124135.5)     		tx = 124135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198406219482422 × 217)
    floor (0.198406219482422 × 131072)
    floor (26005.5)     		ty = 26005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124135 / 26005 ti = "17/124135/26005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124135/26005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124135 ÷ 217
    124135 ÷ 131072     		x = 0.947074890136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26005 ÷ 217
    26005 ÷ 131072     		y = 0.198402404785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947074890136719 × 2 - 1) × π
    0.894149780273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.80905438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198402404785156 × 2 - 1) × π
    0.603195190429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.89499357888044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80905438} λ = 2.80905438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89499357888044))-π/2
    2×atan(6.65250568796133)-π/2
    2×1.42159411972775-π/2
    2.84318823945551-1.57079632675     		φ = 1.27239191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80905438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.946960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27239191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.902686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124135 KachelY 26005 2.80905438 1.27239191 160.946960 72.902686
    Oben rechts KachelX + 1 124136 KachelY 26005 2.80910232 1.27239191 160.949707 72.902686
    Unten links KachelX 124135 KachelY + 1 26006 2.80905438 1.27237782 160.946960 72.901879
    Unten rechts KachelX + 1 124136 KachelY + 1 26006 2.80910232 1.27237782 160.949707 72.901879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27239191-1.27237782) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dl = 89.7673900004947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27239191-1.27237782) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dr = 89.7673900004947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80905438-2.80910232) × cos(1.27239191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293995512270595 × 6371000     		do = 89.7937968918666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80905438-2.80910232) × cos(1.27237782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294008979559222 × 6371000     		du = 89.7979101484613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27239191)-sin(1.27237782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293995512270595-0.294008979559222)×R²
    abs(2.80910232-2.80905438)×1.34672886272225e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34672886272225e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34672886272225e-05×40589641000000     		ar = 8060.73940352534m²