Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124133 / 25974
↖ ↑ ↗
← N 72.927701°
E160.941467°		 ← 89.65 m → N 72.927701°
E160.944214°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
N 72.926894°
E160.941467°		 ← 89.65 m →
8 036 m²		 N 72.926894°
E160.944214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947063446044922 y=0.198169708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947063446044922 × 217)
    floor (0.947063446044922 × 131072)
    floor (124133.5)     		tx = 124133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198169708251953 × 217)
    floor (0.198169708251953 × 131072)
    floor (25974.5)     		ty = 25974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124133 / 25974 ti = "17/124133/25974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124133/25974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124133 ÷ 217
    124133 ÷ 131072     		x = 0.947059631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25974 ÷ 217
    25974 ÷ 131072     		y = 0.198165893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947059631347656 × 2 - 1) × π
    0.894119262695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.80895851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198165893554688 × 2 - 1) × π
    0.603668212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89647962276866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80895851} λ = 2.80895851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89647962276866))-π/2
    2×atan(6.66239895247229)-π/2
    2×1.4218124097729-π/2
    2.8436248195458-1.57079632675     		φ = 1.27282849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80895851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.941467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27282849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.927701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124133 KachelY 25974 2.80895851 1.27282849 160.941467 72.927701
    Oben rechts KachelX + 1 124134 KachelY 25974 2.80900644 1.27282849 160.944214 72.927701
    Unten links KachelX 124133 KachelY + 1 25975 2.80895851 1.27281442 160.941467 72.926894
    Unten rechts KachelX + 1 124134 KachelY + 1 25975 2.80900644 1.27281442 160.944214 72.926894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27282849-1.27281442) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27282849-1.27281442) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80895851-2.80900644) × cos(1.27282849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293578198133064 × 6371000     		do = 89.6476345457094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80895851-2.80900644) × cos(1.27281442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293591648110318 × 6371000     		du = 89.6517416580671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27282849)-sin(1.27281442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293578198133064-0.293591648110318)×R²
    abs(2.80900644-2.80895851)×1.34499772541097e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34499772541097e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34499772541097e-05×40589641000000     		ar = 8036.19535207483m²