Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124132 / 25972
↖ ↑ ↗
← N 72.929313°
E160.938721°		 ← 89.66 m → N 72.929313°
E160.941467°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
N 72.928507°
E160.938721°		 ← 89.66 m →
8 037 m²		 N 72.928507°
E160.941467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947055816650391 y=0.198154449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947055816650391 × 217)
    floor (0.947055816650391 × 131072)
    floor (124132.5)     		tx = 124132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198154449462891 × 217)
    floor (0.198154449462891 × 131072)
    floor (25972.5)     		ty = 25972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124132 / 25972 ti = "17/124132/25972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124132/25972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124132 ÷ 217
    124132 ÷ 131072     		x = 0.947052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25972 ÷ 217
    25972 ÷ 131072     		y = 0.198150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947052001953125 × 2 - 1) × π
    0.89410400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80891057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198150634765625 × 2 - 1) × π
    0.60369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8965754965679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80891057} λ = 2.80891057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8965754965679))-π/2
    2×atan(6.66303773259256)-π/2
    2×1.42182648235651-π/2
    2.84365296471301-1.57079632675     		φ = 1.27285664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80891057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.938721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27285664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.929313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124132 KachelY 25972 2.80891057 1.27285664 160.938721 72.929313
    Oben rechts KachelX + 1 124133 KachelY 25972 2.80895851 1.27285664 160.941467 72.929313
    Unten links KachelX 124132 KachelY + 1 25973 2.80891057 1.27284257 160.938721 72.928507
    Unten rechts KachelX + 1 124133 KachelY + 1 25973 2.80895851 1.27284257 160.941467 72.928507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27285664-1.27284257) × R
    1.40700000001992e-05 × 6371000     		dl = 89.6399700012691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27285664-1.27284257) × R
    1.40700000001992e-05 × 6371000     		dr = 89.6399700012691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80891057-2.80895851) × cos(1.27285664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29355128844477 × 6371000     		do = 89.6581195011386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80891057-2.80895851) × cos(1.27284257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293564738538299 × 6371000     		du = 89.6622275059078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27285664)-sin(1.27284257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29355128844477-0.293564738538299)×R²
    abs(2.80895851-2.80891057)×1.34500935292658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34500935292658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34500935292658e-05×40589641000000     		ar = 8037.13526321418m²