Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124131 / 26039
↖ ↑ ↗
← N 72.875211°
E160.935974°		 ← 89.93 m → N 72.875211°
E160.938721°		 →
↑
89.96 m
↓
↑
89.96 m
↓
N 72.874402°
E160.935974°		 ← 89.94 m →
8 090 m²		 N 72.874402°
E160.938721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947048187255859 y=0.198665618896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947048187255859 × 217)
    floor (0.947048187255859 × 131072)
    floor (124131.5)     		tx = 124131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198665618896484 × 217)
    floor (0.198665618896484 × 131072)
    floor (26039.5)     		ty = 26039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124131 / 26039 ti = "17/124131/26039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124131/26039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124131 ÷ 217
    124131 ÷ 131072     		x = 0.947044372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26039 ÷ 217
    26039 ÷ 131072     		y = 0.198661804199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947044372558594 × 2 - 1) × π
    0.894088745117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.80886263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198661804199219 × 2 - 1) × π
    0.602676391601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.89336372429336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80886263} λ = 2.80886263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89336372429336))-π/2
    2×atan(6.64167190219619)-π/2
    2×1.42135434805908-π/2
    2.84270869611817-1.57079632675     		φ = 1.27191237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80886263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.935974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27191237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.875211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124131 KachelY 26039 2.80886263 1.27191237 160.935974 72.875211
    Oben rechts KachelX + 1 124132 KachelY 26039 2.80891057 1.27191237 160.938721 72.875211
    Unten links KachelX 124131 KachelY + 1 26040 2.80886263 1.27189825 160.935974 72.874402
    Unten rechts KachelX + 1 124132 KachelY + 1 26040 2.80891057 1.27189825 160.938721 72.874402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27191237-1.27189825) × R
    1.41199999998953e-05 × 6371000     		dl = 89.9585199993331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27191237-1.27189825) × R
    1.41199999998953e-05 × 6371000     		dr = 89.9585199993331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80886263-2.80891057) × cos(1.27191237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29445382604246 × 6371000     		do = 89.9337777147907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80886263-2.80891057) × cos(1.27189825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294467320012895 × 6371000     		du = 89.9378991206963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27191237)-sin(1.27189825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29445382604246-0.294467320012895)×R²
    abs(2.80891057-2.80886263)×1.34939704348747e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34939704348747e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34939704348747e-05×40589641000000     		ar = 8090.4949191429m²