Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12413 / 20812
↖ ↑ ↗
← S 43.675818°
W 43.626709°		 ← 883.52 m → S 43.675818°
W 43.615723°		 →
↑
883.47 m
↓
↑
883.47 m
↓
S 43.683763°
W 43.626709°		 ← 883.40 m →
780 504 m²		 S 43.683763°
W 43.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378829956054688 y=0.635147094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378829956054688 × 215)
    floor (0.378829956054688 × 32768)
    floor (12413.5)     		tx = 12413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635147094726562 × 215)
    floor (0.635147094726562 × 32768)
    floor (20812.5)     		ty = 20812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12413 / 20812 ti = "15/12413/20812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12413/20812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12413 ÷ 215
    12413 ÷ 32768     		x = 0.378814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20812 ÷ 215
    20812 ÷ 32768     		y = 0.6351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.24237060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76142971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.849058366070435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76142971} λ = -0.76142971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849058366070435))-π/2
    2×atan(0.427817589899094)-π/2
    2×0.40425474879127-π/2
    0.808509497582541-1.57079632675     		φ = -0.76228683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76142971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.626709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76228683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.675818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12413 KachelY 20812 -0.76142971 -0.76228683 -43.626709 -43.675818
    Oben rechts KachelX + 1 12414 KachelY 20812 -0.76123797 -0.76228683 -43.615723 -43.675818
    Unten links KachelX 12413 KachelY + 1 20813 -0.76142971 -0.76242550 -43.626709 -43.683763
    Unten rechts KachelX + 1 12414 KachelY + 1 20813 -0.76123797 -0.76242550 -43.615723 -43.683763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76228683--0.76242550) × R
    0.000138670000000007 × 6371000     		dl = 883.466570000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76228683--0.76242550) × R
    0.000138670000000007 × 6371000     		dr = 883.466570000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76142971--0.76123797) × cos(-0.76228683) × R
    0.000191739999999996 × 0.723258670588463 × 6371000     		do = 883.515101083765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76142971--0.76123797) × cos(-0.76242550) × R
    0.000191739999999996 × 0.723162901291906 × 6371000     		du = 883.398111653608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76228683)-sin(-0.76242550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723258670588463-0.723162901291906)×R²
    abs(-0.76123797--0.76142971)×9.57692965574131e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57692965574131e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57692965574131e-05×40589641000000     		ar = 780504.379023177m²