Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124127 / 25966
↖ ↑ ↗
← N 72.934150°
E160.924988°		 ← 89.61 m → N 72.934150°
E160.927734°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
N 72.933344°
E160.924988°		 ← 89.62 m →
8 033 m²		 N 72.933344°
E160.927734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947017669677734 y=0.198108673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947017669677734 × 217)
    floor (0.947017669677734 × 131072)
    floor (124127.5)     		tx = 124127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198108673095703 × 217)
    floor (0.198108673095703 × 131072)
    floor (25966.5)     		ty = 25966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124127 / 25966 ti = "17/124127/25966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124127/25966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124127 ÷ 217
    124127 ÷ 131072     		x = 0.947013854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25966 ÷ 217
    25966 ÷ 131072     		y = 0.198104858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947013854980469 × 2 - 1) × π
    0.894027709960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.80867089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198104858398438 × 2 - 1) × π
    0.603790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89686311796562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80867089} λ = 2.80867089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89686311796562))-π/2
    2×atan(6.66495444044816)-π/2
    2×1.4218686923696-π/2
    2.84373738473921-1.57079632675     		φ = 1.27294106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80867089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.924988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27294106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.934150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124127 KachelY 25966 2.80867089 1.27294106 160.924988 72.934150
    Oben rechts KachelX + 1 124128 KachelY 25966 2.80871882 1.27294106 160.927734 72.934150
    Unten links KachelX 124127 KachelY + 1 25967 2.80867089 1.27292699 160.924988 72.933344
    Unten rechts KachelX + 1 124128 KachelY + 1 25967 2.80871882 1.27292699 160.927734 72.933344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27294106-1.27292699) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27294106-1.27292699) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80867089-2.80871882) × cos(1.27294106) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293470586663319 × 6371000     		do = 89.6147740888568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80867089-2.80871882) × cos(1.27292699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293484037105485 × 6371000     		du = 89.6188813431811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27294106)-sin(1.27292699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293470586663319-0.293484037105485)×R²
    abs(2.80871882-2.80867089)×1.3450442166274e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.3450442166274e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.3450442166274e-05×40589641000000     		ar = 8033.24974813573m²