Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124118 / 25987
↖ ↑ ↗
← N 72.917215°
E160.900268°		 ← 89.72 m → N 72.917215°
E160.903015°		 →
↑
89.77 m
↓
↑
89.77 m
↓
N 72.916408°
E160.900268°		 ← 89.72 m →
8 054 m²		 N 72.916408°
E160.903015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946949005126953 y=0.198268890380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946949005126953 × 217)
    floor (0.946949005126953 × 131072)
    floor (124118.5)     		tx = 124118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198268890380859 × 217)
    floor (0.198268890380859 × 131072)
    floor (25987.5)     		ty = 25987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124118 / 25987 ti = "17/124118/25987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124118/25987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124118 ÷ 217
    124118 ÷ 131072     		x = 0.946945190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25987 ÷ 217
    25987 ÷ 131072     		y = 0.198265075683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946945190429688 × 2 - 1) × π
    0.893890380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80823945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198265075683594 × 2 - 1) × π
    0.603469848632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.8958564430736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80823945} λ = 2.80823945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8958564430736))-π/2
    2×atan(6.65824837413711)-π/2
    2×1.42172090653582-π/2
    2.84344181307164-1.57079632675     		φ = 1.27264549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80823945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.900268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27264549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.917215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124118 KachelY 25987 2.80823945 1.27264549 160.900268 72.917215
    Oben rechts KachelX + 1 124119 KachelY 25987 2.80828739 1.27264549 160.903015 72.917215
    Unten links KachelX 124118 KachelY + 1 25988 2.80823945 1.27263140 160.900268 72.916408
    Unten rechts KachelX + 1 124119 KachelY + 1 25988 2.80828739 1.27263140 160.903015 72.916408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27264549-1.27263140) × R
    1.40899999998556e-05 × 6371000     		dl = 89.7673899990801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27264549-1.27263140) × R
    1.40899999998556e-05 × 6371000     		dr = 89.7673899990801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80823945-2.80828739) × cos(1.27264549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2937531293325 × 6371000     		do = 89.7197669036357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80823945-2.80828739) × cos(1.27263140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293766597671147 × 6371000     		du = 89.7238804809336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27264549)-sin(1.27263140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2937531293325-0.293766597671147)×R²
    abs(2.80828739-2.80823945)×1.34683386470713e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34683386470713e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34683386470713e-05×40589641000000     		ar = 8054.09393897978m²