Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124115 / 25989
↖ ↑ ↗
← N 72.915601°
E160.892029°		 ← 89.73 m → N 72.915601°
E160.894775°		 →
↑
89.70 m
↓
↑
89.70 m
↓
N 72.914795°
E160.892029°		 ← 89.73 m →
8 049 m²		 N 72.914795°
E160.894775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946926116943359 y=0.198284149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946926116943359 × 217)
    floor (0.946926116943359 × 131072)
    floor (124115.5)     		tx = 124115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198284149169922 × 217)
    floor (0.198284149169922 × 131072)
    floor (25989.5)     		ty = 25989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124115 / 25989 ti = "17/124115/25989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124115/25989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124115 ÷ 217
    124115 ÷ 131072     		x = 0.946922302246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25989 ÷ 217
    25989 ÷ 131072     		y = 0.198280334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946922302246094 × 2 - 1) × π
    0.893844604492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.80809564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198280334472656 × 2 - 1) × π
    0.603439331054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.89576056927436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80809564} λ = 2.80809564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89576056927436))-π/2
    2×atan(6.65761005316881)-π/2
    2×1.42170682427611-π/2
    2.84341364855222-1.57079632675     		φ = 1.27261732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80809564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.892029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27261732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.915601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124115 KachelY 25989 2.80809564 1.27261732 160.892029 72.915601
    Oben rechts KachelX + 1 124116 KachelY 25989 2.80814358 1.27261732 160.894775 72.915601
    Unten links KachelX 124115 KachelY + 1 25990 2.80809564 1.27260324 160.892029 72.914795
    Unten rechts KachelX + 1 124116 KachelY + 1 25990 2.80814358 1.27260324 160.894775 72.914795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27261732-1.27260324) × R
    1.40799999999164e-05 × 6371000     		dl = 89.7036799994673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27261732-1.27260324) × R
    1.40799999999164e-05 × 6371000     		dr = 89.7036799994673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80809564-2.80814358) × cos(1.27261732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293780056392743 × 6371000     		do = 89.7279911209365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80809564-2.80814358) × cos(1.27260324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293793515056098 × 6371000     		du = 89.732101743151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27261732)-sin(1.27260324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293780056392743-0.293793515056098)×R²
    abs(2.80814358-2.80809564)×1.34586633549483e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34586633549483e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34586633549483e-05×40589641000000     		ar = 8049.11537165246m²