Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124114 / 25982
↖ ↑ ↗
← N 72.921249°
E160.889282°		 ← 89.68 m → N 72.921249°
E160.892029°		 →
↑
89.70 m
↓
↑
89.70 m
↓
N 72.920442°
E160.889282°		 ← 89.68 m →
8 045 m²		 N 72.920442°
E160.892029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946918487548828 y=0.198230743408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946918487548828 × 217)
    floor (0.946918487548828 × 131072)
    floor (124114.5)     		tx = 124114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198230743408203 × 217)
    floor (0.198230743408203 × 131072)
    floor (25982.5)     		ty = 25982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124114 / 25982 ti = "17/124114/25982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124114/25982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124114 ÷ 217
    124114 ÷ 131072     		x = 0.946914672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25982 ÷ 217
    25982 ÷ 131072     		y = 0.198226928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946914672851562 × 2 - 1) × π
    0.893829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80804771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198226928710938 × 2 - 1) × π
    0.603546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8960961275717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80804771} λ = 2.80804771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8960961275717))-π/2
    2×atan(6.65984444432589)-π/2
    2×1.42175610653941-π/2
    2.84351221307882-1.57079632675     		φ = 1.27271589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80804771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.889282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27271589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.921249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124114 KachelY 25982 2.80804771 1.27271589 160.889282 72.921249
    Oben rechts KachelX + 1 124115 KachelY 25982 2.80809564 1.27271589 160.892029 72.921249
    Unten links KachelX 124114 KachelY + 1 25983 2.80804771 1.27270181 160.889282 72.920442
    Unten rechts KachelX + 1 124115 KachelY + 1 25983 2.80809564 1.27270181 160.892029 72.920442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27271589-1.27270181) × R
    1.40799999999164e-05 × 6371000     		dl = 89.7036799994673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27271589-1.27270181) × R
    1.40799999999164e-05 × 6371000     		dr = 89.7036799994673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80804771-2.80809564) × cos(1.27271589) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293685834559644 × 6371000     		do = 89.6805026234319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80804771-2.80809564) × cos(1.27270181) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.29369929363067 × 6371000     		du = 89.6846125126824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27271589)-sin(1.27270181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293685834559644-0.29369929363067)×R²
    abs(2.80809564-2.80804771)×1.34590710261229e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34590710261229e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34590710261229e-05×40589641000000     		ar = 8044.85544572545m²