Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124094 / 26022
↖ ↑ ↗
← N 72.888954°
E160.834351°		 ← 89.85 m → N 72.888954°
E160.837097°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
N 72.888146°
E160.834351°		 ← 89.85 m →
8 071 m²		 N 72.888146°
E160.837097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946765899658203 y=0.198535919189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946765899658203 × 217)
    floor (0.946765899658203 × 131072)
    floor (124094.5)     		tx = 124094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198535919189453 × 217)
    floor (0.198535919189453 × 131072)
    floor (26022.5)     		ty = 26022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124094 / 26022 ti = "17/124094/26022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124094/26022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124094 ÷ 217
    124094 ÷ 131072     		x = 0.946762084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26022 ÷ 217
    26022 ÷ 131072     		y = 0.198532104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946762084960938 × 2 - 1) × π
    0.893524169921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80708897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198532104492188 × 2 - 1) × π
    0.602935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8941786515869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80708897} λ = 2.80708897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8941786515869))-π/2
    2×atan(6.64708658789196)-π/2
    2×1.42147428058029-π/2
    2.84294856116059-1.57079632675     		φ = 1.27215223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80708897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.834351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27215223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.888954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124094 KachelY 26022 2.80708897 1.27215223 160.834351 72.888954
    Oben rechts KachelX + 1 124095 KachelY 26022 2.80713690 1.27215223 160.837097 72.888954
    Unten links KachelX 124094 KachelY + 1 26023 2.80708897 1.27213813 160.834351 72.888146
    Unten rechts KachelX + 1 124095 KachelY + 1 26023 2.80713690 1.27213813 160.837097 72.888146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27215223-1.27213813) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27215223-1.27213813) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80708897-2.80713690) × cos(1.27215223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294224591597698 × 6371000     		do = 89.845018566249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80708897-2.80713690) × cos(1.27213813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294238067450388 × 6371000     		du = 89.8491335799823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27215223)-sin(1.27213813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294224591597698-0.294238067450388)×R²
    abs(2.80713690-2.80708897)×1.34758526895706e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34758526895706e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34758526895706e-05×40589641000000     		ar = 8071.06167557275m²