Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124091 / 26037
↖ ↑ ↗
← N 72.876828°
E160.826111°		 ← 89.91 m → N 72.876828°
E160.828857°		 →
↑
89.96 m
↓
↑
89.96 m
↓
N 72.876019°
E160.826111°		 ← 89.91 m →
8 088 m²		 N 72.876019°
E160.828857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946743011474609 y=0.198650360107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946743011474609 × 217)
    floor (0.946743011474609 × 131072)
    floor (124091.5)     		tx = 124091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198650360107422 × 217)
    floor (0.198650360107422 × 131072)
    floor (26037.5)     		ty = 26037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124091 / 26037 ti = "17/124091/26037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124091/26037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124091 ÷ 217
    124091 ÷ 131072     		x = 0.946739196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26037 ÷ 217
    26037 ÷ 131072     		y = 0.198646545410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946739196777344 × 2 - 1) × π
    0.893478393554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.80694516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198646545410156 × 2 - 1) × π
    0.602706909179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.8934595980926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80694516} λ = 2.80694516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8934595980926))-π/2
    2×atan(6.64230869504015)-π/2
    2×1.42136846261599-π/2
    2.84273692523199-1.57079632675     		φ = 1.27194060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80694516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.826111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27194060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.876828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124091 KachelY 26037 2.80694516 1.27194060 160.826111 72.876828
    Oben rechts KachelX + 1 124092 KachelY 26037 2.80699309 1.27194060 160.828857 72.876828
    Unten links KachelX 124091 KachelY + 1 26038 2.80694516 1.27192648 160.826111 72.876019
    Unten rechts KachelX + 1 124092 KachelY + 1 26038 2.80699309 1.27192648 160.828857 72.876019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27194060-1.27192648) × R
    1.41199999998953e-05 × 6371000     		dl = 89.9585199993331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27194060-1.27192648) × R
    1.41199999998953e-05 × 6371000     		dr = 89.9585199993331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80694516-2.80699309) × cos(1.27194060) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294426847482213 × 6371000     		do = 89.9067798337241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80694516-2.80699309) × cos(1.27192648) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294440341570017 × 6371000     		du = 89.9109004157689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27194060)-sin(1.27192648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294426847482213-0.294440341570017)×R²
    abs(2.80699309-2.80694516)×1.34940878037115e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34940878037115e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34940878037115e-05×40589641000000     		ar = 8088.06619275673m²