Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124090 / 26026
↖ ↑ ↗
← N 72.885721°
E160.823364°		 ← 89.88 m → N 72.885721°
E160.826111°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
N 72.884913°
E160.823364°		 ← 89.88 m →
8 074 m²		 N 72.884913°
E160.826111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946735382080078 y=0.198566436767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946735382080078 × 217)
    floor (0.946735382080078 × 131072)
    floor (124090.5)     		tx = 124090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198566436767578 × 217)
    floor (0.198566436767578 × 131072)
    floor (26026.5)     		ty = 26026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124090 / 26026 ti = "17/124090/26026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124090/26026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124090 ÷ 217
    124090 ÷ 131072     		x = 0.946731567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26026 ÷ 217
    26026 ÷ 131072     		y = 0.198562622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946731567382812 × 2 - 1) × π
    0.893463134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80689722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198562622070312 × 2 - 1) × π
    0.602874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89398690398842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80689722} λ = 2.80689722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89398690398842))-π/2
    2×atan(6.64581214719121)-π/2
    2×1.42144606956638-π/2
    2.84289213913277-1.57079632675     		φ = 1.27209581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80689722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.823364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27209581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.885721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124090 KachelY 26026 2.80689722 1.27209581 160.823364 72.885721
    Oben rechts KachelX + 1 124091 KachelY 26026 2.80694516 1.27209581 160.826111 72.885721
    Unten links KachelX 124090 KachelY + 1 26027 2.80689722 1.27208171 160.823364 72.884913
    Unten rechts KachelX + 1 124091 KachelY + 1 26027 2.80694516 1.27208171 160.826111 72.884913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27209581-1.27208171) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27209581-1.27208171) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80689722-2.80694516) × cos(1.27209581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294278513771855 × 6371000     		do = 89.8802328348101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80689722-2.80694516) × cos(1.27208171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294291989390456 × 6371000     		du = 89.8843486355932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27209581)-sin(1.27208171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294278513771855-0.294291989390456)×R²
    abs(2.80694516-2.80689722)×1.34756186006557e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34756186006557e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34756186006557e-05×40589641000000     		ar = 8074.22504726405m²