Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12409 / 28536
↖ ↑ ↗
← N 22.634293°
W111.835327°		 ← 563.80 m → N 22.634293°
W111.829834°		 →
↑
563.77 m
↓
↑
563.77 m
↓
N 22.629223°
W111.835327°		 ← 563.82 m →
317 861 m²		 N 22.629223°
W111.829834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.189353942871094 y=0.435432434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.189353942871094 × 216)
    floor (0.189353942871094 × 65536)
    floor (12409.5)     		tx = 12409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435432434082031 × 216)
    floor (0.435432434082031 × 65536)
    floor (28536.5)     		ty = 28536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12409 / 28536 ti = "16/12409/28536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12409/28536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12409 ÷ 216
    12409 ÷ 65536     		x = 0.189346313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28536 ÷ 216
    28536 ÷ 65536     		y = 0.4354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.189346313476562 × 2 - 1) × π
    -0.621307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.95189468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4354248046875 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.405737918384155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.95189468} λ = -1.95189468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405737918384155))-π/2
    2×atan(1.50040927123815)-π/2
    2×0.982919629075493-π/2
    1.96583925815099-1.57079632675     		φ = 0.39504293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.95189468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.835327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39504293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.634293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12409 KachelY 28536 -1.95189468 0.39504293 -111.835327 22.634293
    Oben rechts KachelX + 1 12410 KachelY 28536 -1.95179880 0.39504293 -111.829834 22.634293
    Unten links KachelX 12409 KachelY + 1 28537 -1.95189468 0.39495444 -111.835327 22.629223
    Unten rechts KachelX + 1 12410 KachelY + 1 28537 -1.95179880 0.39495444 -111.829834 22.629223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39504293-0.39495444) × R
    8.84899999999966e-05 × 6371000     		dl = 563.769789999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39504293-0.39495444) × R
    8.84899999999966e-05 × 6371000     		dr = 563.769789999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.95189468--1.95179880) × cos(0.39504293) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.922980043697042 × 6371000     		do = 563.803725703739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.95189468--1.95179880) × cos(0.39495444) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.923014095266255 × 6371000     		du = 563.824526155189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39504293)-sin(0.39495444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922980043697042-0.923014095266255)×R²
    abs(-1.95179880--1.95189468)×3.40515692125454e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.40515692125454e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.40515692125454e-05×40589641000000     		ar = 317861.371581689m²