Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124089 / 26027
↖ ↑ ↗
← N 72.884913°
E160.820617°		 ← 89.88 m → N 72.884913°
E160.823364°		 →
↑
89.89 m
↓
↑
89.89 m
↓
N 72.884105°
E160.820617°		 ← 89.89 m →
8 080 m²		 N 72.884105°
E160.823364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946727752685547 y=0.198574066162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946727752685547 × 217)
    floor (0.946727752685547 × 131072)
    floor (124089.5)     		tx = 124089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198574066162109 × 217)
    floor (0.198574066162109 × 131072)
    floor (26027.5)     		ty = 26027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124089 / 26027 ti = "17/124089/26027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124089/26027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124089 ÷ 217
    124089 ÷ 131072     		x = 0.946723937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26027 ÷ 217
    26027 ÷ 131072     		y = 0.198570251464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946723937988281 × 2 - 1) × π
    0.893447875976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.80684928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198570251464844 × 2 - 1) × π
    0.602859497070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.8939389670888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80684928} λ = 2.80684928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8939389670888))-π/2
    2×atan(6.64549357519716)-π/2
    2×1.42143901600507-π/2
    2.84287803201015-1.57079632675     		φ = 1.27208171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80684928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.820617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27208171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.884913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124089 KachelY 26027 2.80684928 1.27208171 160.820617 72.884913
    Oben rechts KachelX + 1 124090 KachelY 26027 2.80689722 1.27208171 160.823364 72.884913
    Unten links KachelX 124089 KachelY + 1 26028 2.80684928 1.27206760 160.820617 72.884105
    Unten rechts KachelX + 1 124090 KachelY + 1 26028 2.80689722 1.27206760 160.823364 72.884105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27208171-1.27206760) × R
    1.41099999999561e-05 × 6371000     		dl = 89.8948099997203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27208171-1.27206760) × R
    1.41099999999561e-05 × 6371000     		dr = 89.8948099997203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80684928-2.80689722) × cos(1.27208171) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.294291989390456 × 6371000     		do = 89.8843486364258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80684928-2.80689722) × cos(1.27206760) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.294305474507662 × 6371000     		du = 89.8884673383276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27208171)-sin(1.27206760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294291989390456-0.294305474507662)×R²
    abs(2.80689722-2.80684928)×1.34851172064465e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.34851172064465e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.34851172064465e-05×40589641000000     		ar = 8080.32156776799m²