Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12408 / 14600
↖ ↑ ↗
← N 19.228177°
W 43.681641°		 ← 1 153.49 m → N 19.228177°
W 43.670654°		 →
↑
1 153.47 m
↓
↑
1 153.47 m
↓
N 19.217803°
W 43.681641°		 ← 1 153.56 m →
1 330 557 m²		 N 19.217803°
W 43.670654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378677368164062 y=0.445571899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378677368164062 × 215)
    floor (0.378677368164062 × 32768)
    floor (12408.5)     		tx = 12408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445571899414062 × 215)
    floor (0.445571899414062 × 32768)
    floor (14600.5)     		ty = 14600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12408 / 14600 ti = "15/12408/14600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12408/14600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12408 ÷ 215
    12408 ÷ 32768     		x = 0.378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14600 ÷ 215
    14600 ÷ 32768     		y = 0.445556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.24267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76238845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445556640625 × 2 - 1) × π
    0.10888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.342077715688721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76238845} λ = -0.76238845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342077715688721))-π/2
    2×atan(1.40786970682653)-π/2
    2×0.953195660007534-π/2
    1.90639132001507-1.57079632675     		φ = 0.33559499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76238845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33559499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.228177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12408 KachelY 14600 -0.76238845 0.33559499 -43.681641 19.228177
    Oben rechts KachelX + 1 12409 KachelY 14600 -0.76219670 0.33559499 -43.670654 19.228177
    Unten links KachelX 12408 KachelY + 1 14601 -0.76238845 0.33541394 -43.681641 19.217803
    Unten rechts KachelX + 1 12409 KachelY + 1 14601 -0.76219670 0.33541394 -43.670654 19.217803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33559499-0.33541394) × R
    0.00018104999999996 × 6371000     		dl = 1153.46954999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33559499-0.33541394) × R
    0.00018104999999996 × 6371000     		dr = 1153.46954999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76238845--0.76219670) × cos(0.33559499) × R
    0.000191750000000046 × 0.944214528108996 × 6371000     		do = 1153.48952795845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76238845--0.76219670) × cos(0.33541394) × R
    0.000191750000000046 × 0.944274138015736 × 6371000     		du = 1153.56234976022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33559499)-sin(0.33541394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944214528108996-0.944274138015736)×R²
    abs(-0.76219670--0.76238845)×5.96099067401434e-05×R²
    0.000191750000000046×5.96099067401434e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.96099067401434e-05×40589641000000     		ar = 1330557.04924361m²