Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124072 / 26008
↖ ↑ ↗
← N 72.900264°
E160.773926°		 ← 89.79 m → N 72.900264°
E160.776672°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
N 72.899456°
E160.773926°		 ← 89.79 m →
8 066 m²		 N 72.899456°
E160.776672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946598052978516 y=0.198429107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946598052978516 × 217)
    floor (0.946598052978516 × 131072)
    floor (124072.5)     		tx = 124072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198429107666016 × 217)
    floor (0.198429107666016 × 131072)
    floor (26008.5)     		ty = 26008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124072 / 26008 ti = "17/124072/26008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124072/26008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124072 ÷ 217
    124072 ÷ 131072     		x = 0.94659423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26008 ÷ 217
    26008 ÷ 131072     		y = 0.19842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94659423828125 × 2 - 1) × π
    0.8931884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80603436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19842529296875 × 2 - 1) × π
    0.6031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89484976818158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80603436} λ = 2.80603436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89484976818158))-π/2
    2×atan(6.65154905525783)-π/2
    2×1.42157297842494-π/2
    2.84314595684989-1.57079632675     		φ = 1.27234963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80603436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.773926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27234963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.900264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124072 KachelY 26008 2.80603436 1.27234963 160.773926 72.900264
    Oben rechts KachelX + 1 124073 KachelY 26008 2.80608229 1.27234963 160.776672 72.900264
    Unten links KachelX 124072 KachelY + 1 26009 2.80603436 1.27233553 160.773926 72.899456
    Unten rechts KachelX + 1 124073 KachelY + 1 26009 2.80608229 1.27233553 160.776672 72.899456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27234963-1.27233553) × R
    1.40999999997948e-05 × 6371000     		dl = 89.8310999986929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27234963-1.27233553) × R
    1.40999999997948e-05 × 6371000     		dr = 89.8310999986929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80603436-2.80608229) × cos(1.27234963) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.29403592351931 × 6371000     		do = 89.7874064988363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80603436-2.80608229) × cos(1.27233553) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294049400190683 × 6371000     		du = 89.7915217625643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27234963)-sin(1.27233553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29403592351931-0.294049400190683)×R²
    abs(2.80608229-2.80603436)×1.34766713726364e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34766713726364e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34766713726364e-05×40589641000000     		ar = 8065.88633136086m²