Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124071 / 26009
↖ ↑ ↗
← N 72.899456°
E160.771179°		 ← 89.81 m → N 72.899456°
E160.773926°		 →
↑
89.77 m
↓
↑
89.77 m
↓
N 72.898649°
E160.771179°		 ← 89.81 m →
8 062 m²		 N 72.898649°
E160.773926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946590423583984 y=0.198436737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946590423583984 × 217)
    floor (0.946590423583984 × 131072)
    floor (124071.5)     		tx = 124071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198436737060547 × 217)
    floor (0.198436737060547 × 131072)
    floor (26009.5)     		ty = 26009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124071 / 26009 ti = "17/124071/26009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124071/26009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124071 ÷ 217
    124071 ÷ 131072     		x = 0.946586608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26009 ÷ 217
    26009 ÷ 131072     		y = 0.198432922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946586608886719 × 2 - 1) × π
    0.893173217773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.80598642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198432922363281 × 2 - 1) × π
    0.603134155273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.89480183128196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80598642} λ = 2.80598642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89480183128196))-π/2
    2×atan(6.65123020826078)-π/2
    2×1.42156593067821-π/2
    2.84313186135643-1.57079632675     		φ = 1.27233553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80598642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.771179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27233553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.899456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124071 KachelY 26009 2.80598642 1.27233553 160.771179 72.899456
    Oben rechts KachelX + 1 124072 KachelY 26009 2.80603436 1.27233553 160.773926 72.899456
    Unten links KachelX 124071 KachelY + 1 26010 2.80598642 1.27232144 160.771179 72.898649
    Unten rechts KachelX + 1 124072 KachelY + 1 26010 2.80603436 1.27232144 160.773926 72.898649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27233553-1.27232144) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dl = 89.7673900004947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27233553-1.27232144) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dr = 89.7673900004947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80598642-2.80603436) × cos(1.27233553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294049400190683 × 6371000     		do = 89.8102556497366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80598642-2.80603436) × cos(1.27232144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294062867245735 × 6371000     		du = 89.8143688349915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27233553)-sin(1.27232144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294049400190683-0.294062867245735)×R²
    abs(2.80603436-2.80598642)×1.34670550521743e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34670550521743e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34670550521743e-05×40589641000000     		ar = 8062.21685993456m²