Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12407 / 4243
↖ ↑ ↗
← N 65.192251°
E 92.614746°		 ← 1 025.11 m → N 65.192251°
E 92.636719°		 →
↑
1 025.29 m
↓
↑
1 025.29 m
↓
N 65.183030°
E 92.614746°		 ← 1 025.47 m →
1 051 214 m²		 N 65.183030°
E 92.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757293701171875 y=0.259002685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757293701171875 × 214)
    floor (0.757293701171875 × 16384)
    floor (12407.5)     		tx = 12407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259002685546875 × 214)
    floor (0.259002685546875 × 16384)
    floor (4243.5)     		ty = 4243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12407 / 4243 ti = "14/12407/4243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12407/4243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12407 ÷ 214
    12407 ÷ 16384     		x = 0.75726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4243 ÷ 214
    4243 ÷ 16384     		y = 0.25897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75726318359375 × 2 - 1) × π
    0.5145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.61643226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25897216796875 × 2 - 1) × π
    0.4820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51442253279681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61643226} λ = 1.61643226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51442253279681))-π/2
    2×atan(4.54679474374945)-π/2
    2×1.35430787546268-π/2
    2.70861575092536-1.57079632675     		φ = 1.13781942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61643226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.614746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13781942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.192251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12407 KachelY 4243 1.61643226 1.13781942 92.614746 65.192251
    Oben rechts KachelX + 1 12408 KachelY 4243 1.61681575 1.13781942 92.636719 65.192251
    Unten links KachelX 12407 KachelY + 1 4244 1.61643226 1.13765849 92.614746 65.183030
    Unten rechts KachelX + 1 12408 KachelY + 1 4244 1.61681575 1.13765849 92.636719 65.183030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13781942-1.13765849) × R
    0.000160930000000059 × 6371000     		dl = 1025.28503000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13781942-1.13765849) × R
    0.000160930000000059 × 6371000     		dr = 1025.28503000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61643226-1.61681575) × cos(1.13781942) × R
    0.000383489999999931 × 0.41957485760138 × 6371000     		do = 1025.11149760365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61643226-1.61681575) × cos(1.13765849) × R
    0.000383489999999931 × 0.419720931666003 × 6371000     		du = 1025.46838791877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13781942)-sin(1.13765849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41957485760138-0.419720931666003)×R²
    abs(1.61681575-1.61643226)×0.000146074064623247×R²
    0.000383489999999931×0.000146074064623247×6371000²
    0.000383489999999931×0.000146074064623247×40589641000000     		ar = 1051214.43199125m²