Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12407 / 20727
↖ ↑ ↗
← S 42.996612°
W 43.692627°		 ← 893.50 m → S 42.996612°
W 43.681641°		 →
↑
893.47 m
↓
↑
893.47 m
↓
S 43.004647°
W 43.692627°		 ← 893.38 m →
798 262 m²		 S 43.004647°
W 43.681641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378646850585938 y=0.632553100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378646850585938 × 215)
    floor (0.378646850585938 × 32768)
    floor (12407.5)     		tx = 12407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632553100585938 × 215)
    floor (0.632553100585938 × 32768)
    floor (20727.5)     		ty = 20727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12407 / 20727 ti = "15/12407/20727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12407/20727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12407 ÷ 215
    12407 ÷ 32768     		x = 0.378631591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20727 ÷ 215
    20727 ÷ 32768     		y = 0.632537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.24273681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76258020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632537841796875 × 2 - 1) × π
    -0.26507568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.832759820199615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76258020} λ = -0.76258020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832759820199615))-π/2
    2×atan(0.434847527774651)-π/2
    2×0.41018193732615-π/2
    0.820363874652299-1.57079632675     		φ = -0.75043245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76258020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.692627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75043245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.996612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12407 KachelY 20727 -0.76258020 -0.75043245 -43.692627 -42.996612
    Oben rechts KachelX + 1 12408 KachelY 20727 -0.76238845 -0.75043245 -43.681641 -42.996612
    Unten links KachelX 12407 KachelY + 1 20728 -0.76258020 -0.75057269 -43.692627 -43.004647
    Unten rechts KachelX + 1 12408 KachelY + 1 20728 -0.76238845 -0.75057269 -43.681641 -43.004647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75043245--0.75057269) × R
    0.000140240000000014 × 6371000     		dl = 893.469040000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75043245--0.75057269) × R
    0.000140240000000014 × 6371000     		dr = 893.469040000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76258020--0.76238845) × cos(-0.75043245) × R
    0.000191750000000046 × 0.731394025783571 × 6371000     		do = 893.499649112937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76258020--0.76238845) × cos(-0.75057269) × R
    0.000191750000000046 × 0.731298381206282 × 6371000     		du = 893.382805943271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75043245)-sin(-0.75057269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731394025783571-0.731298381206282)×R²
    abs(-0.76238845--0.76258020)×9.56445772892778e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56445772892778e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56445772892778e-05×40589641000000     		ar = 798262.077164384m²