Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124068 / 26016
↖ ↑ ↗
← N 72.893802°
E160.762940°		 ← 89.84 m → N 72.893802°
E160.765686°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
N 72.892994°
E160.762940°		 ← 89.84 m →
8 071 m²		 N 72.892994°
E160.765686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946567535400391 y=0.198490142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946567535400391 × 217)
    floor (0.946567535400391 × 131072)
    floor (124068.5)     		tx = 124068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198490142822266 × 217)
    floor (0.198490142822266 × 131072)
    floor (26016.5)     		ty = 26016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124068 / 26016 ti = "17/124068/26016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124068/26016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124068 ÷ 217
    124068 ÷ 131072     		x = 0.946563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26016 ÷ 217
    26016 ÷ 131072     		y = 0.198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946563720703125 × 2 - 1) × π
    0.89312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80584261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198486328125 × 2 - 1) × π
    0.60302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89446627298462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80584261} λ = 2.80584261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89446627298462))-π/2
    2×atan(6.64899870719716)-π/2
    2×1.42151658740865-π/2
    2.8430331748173-1.57079632675     		φ = 1.27223685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80584261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.762940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27223685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.893802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124068 KachelY 26016 2.80584261 1.27223685 160.762940 72.893802
    Oben rechts KachelX + 1 124069 KachelY 26016 2.80589055 1.27223685 160.765686 72.893802
    Unten links KachelX 124068 KachelY + 1 26017 2.80584261 1.27222275 160.762940 72.892994
    Unten rechts KachelX + 1 124069 KachelY + 1 26017 2.80589055 1.27222275 160.765686 72.892994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27223685-1.27222275) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27223685-1.27222275) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80584261-2.80589055) × cos(1.27223685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29414371613804 × 6371000     		do = 89.8390621677519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80584261-2.80589055) × cos(1.27222275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294157192341741 × 6371000     		du = 89.8431781472397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27223685)-sin(1.27222275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29414371613804-0.294157192341741)×R²
    abs(2.80589055-2.80584261)×1.34762037011238e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34762037011238e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34762037011238e-05×40589641000000     		ar = 8070.52664894138m²