Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124068 / 26014
↖ ↑ ↗
← N 72.895418°
E160.762940°		 ← 89.83 m → N 72.895418°
E160.765686°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
N 72.894610°
E160.762940°		 ← 89.83 m →
8 070 m²		 N 72.894610°
E160.765686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946567535400391 y=0.198474884033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946567535400391 × 217)
    floor (0.946567535400391 × 131072)
    floor (124068.5)     		tx = 124068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198474884033203 × 217)
    floor (0.198474884033203 × 131072)
    floor (26014.5)     		ty = 26014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124068 / 26014 ti = "17/124068/26014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124068/26014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124068 ÷ 217
    124068 ÷ 131072     		x = 0.946563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26014 ÷ 217
    26014 ÷ 131072     		y = 0.198471069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946563720703125 × 2 - 1) × π
    0.89312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80584261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198471069335938 × 2 - 1) × π
    0.603057861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89456214678386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80584261} λ = 2.80584261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89456214678386))-π/2
    2×atan(6.64963620252343)-π/2
    2×1.42153068710053-π/2
    2.84306137420105-1.57079632675     		φ = 1.27226505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80584261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.762940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27226505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.895418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124068 KachelY 26014 2.80584261 1.27226505 160.762940 72.895418
    Oben rechts KachelX + 1 124069 KachelY 26014 2.80589055 1.27226505 160.765686 72.895418
    Unten links KachelX 124068 KachelY + 1 26015 2.80584261 1.27225095 160.762940 72.894610
    Unten rechts KachelX + 1 124069 KachelY + 1 26015 2.80589055 1.27225095 160.765686 72.894610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27226505-1.27225095) × R
    1.40999999997948e-05 × 6371000     		dl = 89.8310999986929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27226505-1.27225095) × R
    1.40999999997948e-05 × 6371000     		dr = 89.8310999986929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80584261-2.80589055) × cos(1.27226505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294116763555204 × 6371000     		do = 89.8308301551944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80584261-2.80589055) × cos(1.27225095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29413023987586 × 6371000     		du = 89.8349461704032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27226505)-sin(1.27225095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294116763555204-0.29413023987586)×R²
    abs(2.80589055-2.80584261)×1.34763206556254e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34763206556254e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34763206556254e-05×40589641000000     		ar = 8069.78715986264m²