Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124068 / 26012
↖ ↑ ↗
← N 72.897033°
E160.762940°		 ← 89.82 m → N 72.897033°
E160.765686°		 →
↑
89.77 m
↓
↑
89.77 m
↓
N 72.896226°
E160.762940°		 ← 89.83 m →
8 063 m²		 N 72.896226°
E160.765686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946567535400391 y=0.198459625244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946567535400391 × 217)
    floor (0.946567535400391 × 131072)
    floor (124068.5)     		tx = 124068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198459625244141 × 217)
    floor (0.198459625244141 × 131072)
    floor (26012.5)     		ty = 26012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124068 / 26012 ti = "17/124068/26012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124068/26012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124068 ÷ 217
    124068 ÷ 131072     		x = 0.946563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26012 ÷ 217
    26012 ÷ 131072     		y = 0.198455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946563720703125 × 2 - 1) × π
    0.89312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80584261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198455810546875 × 2 - 1) × π
    0.60308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8946580205831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80584261} λ = 2.80584261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8946580205831))-π/2
    2×atan(6.65027375897172)-π/2
    2×1.42154478550046-π/2
    2.84308957100093-1.57079632675     		φ = 1.27229324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80584261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.762940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27229324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.897033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124068 KachelY 26012 2.80584261 1.27229324 160.762940 72.897033
    Oben rechts KachelX + 1 124069 KachelY 26012 2.80589055 1.27229324 160.765686 72.897033
    Unten links KachelX 124068 KachelY + 1 26013 2.80584261 1.27227915 160.762940 72.896226
    Unten rechts KachelX + 1 124069 KachelY + 1 26013 2.80589055 1.27227915 160.765686 72.896226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27229324-1.27227915) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dl = 89.7673900004947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27229324-1.27227915) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dr = 89.7673900004947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80584261-2.80589055) × cos(1.27229324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294089820296253 × 6371000     		do = 89.8226009903913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80584261-2.80589055) × cos(1.27227915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294103287176075 × 6371000     		du = 89.8267141221264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27229324)-sin(1.27227915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294089820296253-0.294103287176075)×R²
    abs(2.80589055-2.80584261)×1.34668798220106e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34668798220106e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34668798220106e-05×40589641000000     		ar = 8063.32506663183m²